Suma de cuatro cuadrados no un primer

Question

Sea $ a, b, c, d $ ser números naturales tales que ab $ = $cd. Probar que $ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 $ no es un primo.

Estoy desorientado en este caso. Trató de contradicción, pero no llegar a ninguna parte.

¿Puede ayudar?

Edición: Entiendo los números naturales estrictamente positivo, excluyendo $0 $.

Answer 1

Desde $d = \frac {ab} ${c}, obtenemos

$$ a^2+b^2+c^2+d^2=\frac{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}{c^2}=\left(\left(\frac{a}{a'}\right)^2+b'^2\right)\left(\left(\frac{b}{b'}\right)^2+a'^2\right). $$ donde $c = $ 'b' tal que $a' \mid un$ y $b' \mid b$.

Answer 2

Supongamos que no. Nota $p:=a^2+b^2+c^2+d^2=(a+b)^2+(c-d)^2=(a-b)^2+(c+d)^2$. Es decir, hemos expresado $p$ de dos maneras, como una suma de dos cuadrados.

Pero desde $p$ es primo, se puede expresar como la suma de dos cuadrados en más de una manera, hasta intercambiando los números. Esto corresponde al hecho de $p$ tiene una única factorización prima en el anillo de los enteros de Gauss $\mathbb{Z}[i]$: $p=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$.

Por lo tanto, $a+b=a-b$ y $c-d=c+d$, lo cual es imposible, o $a+b=c+d$ y $c-d=a-b$ lo cual implica que $a=c$ y $b=d$ y por tanto $2|p$. Contradicción, porque $p>2$.

Answer 3

Rápida y sucia de la prueba:

Comenzamos con la información dada. a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = k tales que k es primo (que se opongan al presente) ab = cd

Podemos reescribir los términos de k, de la siguiente manera: (cd/b)^2 + b^2 + (ab/c)^2 + (ab/c)^2 = (c^2 * d^2)/b^2 + b^2 + b^2)(a/d)^2 + b^2)(a/c)^2 [1] Los tres últimos términos en [1] son múltiplos de b^2. Ya hemos demostrado, en los últimos tres términos, que c^2 y d^2 son múltiplos de b^2. Por lo tanto el primer término de [1] es un múltiplo de b^4, ya que el producto de c^2 y d^2 en el numerador. Dividiendo por b^2 la deja como un múltiplo de b^2. Por lo tanto, todos los términos en k es un múltiplo de b^2 y k no puede ser un primo.

PS. No tengo idea de cómo dar formato a las ecuaciones en aquí. Realmente tu perdón imploro. PSS. Si alguien ve un error, por favor hágamelo saber!!!

Answer 4

Una manera bastante extraña llegar tal vez...

AB = cd

no principal > 2 es incluso.

suma de cualquier número par de números impares es uniforme.

cuadrados de números impares es impar y de números es uniforme.

así que ya sea 1 o 3 de a, b, c, d debe ser impar si somos posiblemente para obtener un primer.

No puede ser que sólo uno de ellos es par o impar ab! = cd. Así que tenemos 3 de ellos impares.

Si a, b, c son impares entonces ab/c = d, que es una contradicción. QED :)