Prueba $\mathbb{Z}_3[x]/(x^2+1)$ y $\mathbb{Z}_3[x]/(x^2+x-1)$ son isomorfas.

Question

Prueba $\mathbb{Z}_3[x]/(x^2+1)$ y $\mathbb{Z}_3[x]/(x^2+x-1)$ son isomorfos encontrando un isomorfismo explícito. Mi pregunta es cómo puedo definir el mapa. Esto es lo que he intentado:

$\mathbb{Z}_3[x]/(x^2+1)=\{ a+b\alpha \,|\, \alpha^2 + 1 = 0, \quad a,b\in\mathbb{Z} \}$

$\mathbb{Z}_3[x]/(x^2+x-1)=\{ a+b\beta \,|\, \beta^2 + \beta - 1 = 0, \quad a,b\in\mathbb{Z} \}$

Entonces busco un isomorfismo de la forma $f(a+b\alpha) = a+bf(\alpha)$ para todos $a,b\in\mathbb{Z}$ donde $f(\alpha^2)+1=0$ . Aquí estoy atascado.

Mi profesor dijo $f(a+b\alpha) = a+b(1-\beta)$ para que la restricción de $f$ a $\mathbb{Z}_3$ es el morfismo de identidad. No entiendo por qué tenemos $f(\alpha) = 1-\beta$ .

También dio otro problema: $\mathbb{Z}_5[x]/(x^2+2)$ y $\mathbb{Z}_5[x]/(x^2-x+1)$ , donde $f(a+b\alpha) = a+b(2+\beta)$ .

¿Podría alguien explicarme por qué $f(\alpha) = 1-\beta\,$ en el primer problema y $f(\alpha)=2+\beta\,$ en el segundo problema?

Muchas gracias.

Answer 1

En el primer problema, $f$ se define por el lugar al que envía $1$ y $\alpha$ . Ciertamente necesita enviar $1 \mapsto 1$ . Entonces necesita enviar $\alpha \mapsto r + s \beta$ para algunos $r, s \in \mathbb{Z}_3$ .

Aplicando el isomorfismo $f$ a $\alpha^2 + 1 = 0$ , obtenemos que $(r + s \beta)^2 + 1 = 0$ es decir $1 + r^2 + 2s \beta + \beta^2 = 0$ , y como $\beta^2 = 1 - \beta$ obtenemos $(2 + r^2) + (2s - 1) \beta = 0$ . Esto implica $2 + r^2, 2s - 1 = 0$ así que $r = \pm 1, s = -1$ (mod $3$ ). Así que hay dos opciones: $f(\alpha) = 1 - \beta$ o $f(\alpha) = -1 - \beta$ . Se puede comprobar que ambos son de hecho isomorfismos.

El segundo problema es idéntico; escribe $f(\alpha) = r + s \beta$ y luego utilizar el hecho de que $f(\alpha)^2 + 2 = 0$ para resolver lo que $r$ y $s$ son. Verás que $r = 2, s = 1$ satisface la igualdad requerida.

Answer 2

Los dos polinomios son irreducibles, porque no tienen raíces y tienen grado $2$ , por lo que los campos $\mathbb{Z}_3[x]/(x^2+1)$ y $\mathbb{Z}_3[x]/(x^2+x-1)$ son ciertamente isomorfas.

Intentemos manipular el segundo polinomio: $$ x^2+x-1=x^2+x+2=x^2-2x+1+1=(x-1)^2+1 $$ por lo que el homomorfismo de anillo $$ f\colon\mathbb{Z}_3[x]\to\mathbb{Z}_3[x]/(x^2+x-1) $$ definido por $f(x)=x-1+(x^2+x-1)$ tiene la propiedad de que $$ f(x^2+1)=(x-1)^2+1+(x^2+x-1)=x^2+x-1+(x^2+x-1)=(x^2+x-1) $$ así que $x^2+1\in\ker f$ . Ningún grado $1$ pertenece al polinomio $\ker f$ Así que $\ker f=(x^2+1)$ y el mapa inducido es un isomorfismo.