Propiedad de retracción y extensión de homotopía

Question

Vea la imagen de abajo la siguiente imagen. Según Hatcher, la propiedad de extensión homotópica implica que para un par $(X,A)$ donde $A$ es un subespacio de $X$ ,

$X\times I$ debe retraerse a $X\times\{0\}\cup A\times I$ .

Mi pregunta es si el repliegue que se da en la foto es posible ? Si es así, cómo lo haríamos. Me parece que es imposible hacer la retracción de forma continua.

Answer 1

Definitivamente es factible. Consideremos primero un ejemplo más sencillo: dejemos que $X=[0,1]$ y que $A=\{0\}$ .

Puede retractarse $X\times I$ (un cuadrado) a $(X\times\{0\})\cup(A\times I)$ (la unión de los lados "inferior" e "izquierdo" del cuadrado) proyectando cada punto a lo largo del rayo desde $(2,2)$ :

Para trasladar esta intuición a su ejemplo de $X=$ un disco y $A=$ un disco más pequeño en el interior $X$ , sólo hay que "girar esto" (como se haría para formar un sólido de revolución) y dejar el interior de $A$ solo.

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Para divertirse:

PlotACylinder\[RadiusOfA\_, Height\_, theta\_, u\_\] :=
  {RadiusOfA\*Cos\[theta\], RadiusOfA\*Sin\[theta\], Height\*u}

PlotATop\[RadiusOfA\_, Height\_, theta\_, u\_\] :=
  {RadiusOfA\*u\*Cos\[theta\], RadiusOfA\*u\*Sin\[theta\], Height}

PlotX\[RadiusOfX\_, theta\_, u\_\] :=
  {RadiusOfX\*u\*Cos\[theta\], RadiusOfX\*u\*Sin\[theta\], 0}

PlotTopSurface\[RadiusOfA\_, RadiusOfX\_, Height\_, t\_, theta\_, u\_\] := 
 Module\[{x, y},
  x = RadiusOfA + (RadiusOfX - RadiusOfA) u;
  y = 2 Height\*(1 - (2 RadiusOfX - 2 RadiusOfA)/(2 RadiusOfX - RadiusOfA - x))
      + Height\*(2 RadiusOfX - 2 RadiusOfA)/(2 RadiusOfX - RadiusOfA - x);
  {(x (1 - t) + RadiusOfA\*t)\*Cos\[theta\], (x (1 - t) + RadiusOfA\*t)\*Sin\[theta\], 
  Height (1 - t) + y\*t}\]

PlotSideSurface\[RadiusOfA\_, RadiusOfX\_, Height\_, t\_, theta\_, u\_\] := 
 Module\[{x, y},
  y = Height\*u;
  x = (2 RadiusOfX - RadiusOfA)\*(1 - (2 Height/(2 Height - y))) 
      + RadiusOfX (2 Height/(2 Height - y));
  {(RadiusOfX (1 - t) + x\*t)\*Cos\[theta\], (RadiusOfX (1 - t) + x\*t)\*Sin\[theta\], 
  y (1 - t)}\]

PlotRetract\[RadiusOfA\_, RadiusOfX\_, Height\_, t\_\] := ParametricPlot3D\[
  {PlotACylinder\[RadiusOfA, Height, theta, u\],
   PlotATop\[RadiusOfA, Height, theta, u\],
   PlotX\[RadiusOfX, theta, u\],
   PlotTopSurface\[RadiusOfA, RadiusOfX, Height, t, theta, u\],
   PlotSideSurface\[RadiusOfA, RadiusOfX, Height, t, theta, u\]},
  {theta, 0, 2 Pi}, {u, 0, 1}, Mesh -> None, Axes -> None, 
  Boxed -> False, PlotPoints -> 30, 
  Lighting -> {{"Directional", White, {{1, 1, 1}, {0, 0, 0}}}}, 
  PlotStyle -> {Gray, Gray, Gray, Directive\[Blue, Opacity\[0.5\]\], 
  Directive\[Blue, Opacity\[0.5\]\]}\]

Export\["animation.gif", Table\[PlotRetract\[1, 3, 4, Max\[0, t\]\],
  {t, -0.1, 0.98, 0.02}\], "DisplayDurations" -> {0.125}\]