Extraíble discontinuidad pregunta

Question

Una rápida y fácil la pregunta sobre la terminología:

Si tenemos una función $$f(x) = \frac{x(x-2)}{(x-2)}$$ then clearly the function is not defined at $x = 2$.

Si queremos cancelar "$(x-2)$" a continuación, la función está definida por todas partes (que es la identidad de la función).

¿La definición de la función, no requieren que consideramos que se trata de dos funciones diferentes?

Answer 1

NOTA: El concepto de "extraíble discontinuidades" en la escuela primaria de cálculo es un extraño. La función de $f$ no es realmente discontinua a través de su dominio. Esto es debido a que $2$ no está realmente en su dominio.

La función de $f$ como se ha definido tiene la firma de $f: \Bbb R \setminus \{2\} \to \Bbb R$. Esto significa que la función $f$ es definido en todas partes en los números reales $\Bbb R$ , excepto en $2$. Si esta firma (o solo el dominio) es especificada en primer lugar, entonces, podríamos definir la asignación $f$$f(x) = x$. Debido a $x=\dfrac {x(x-2)}{x-2}$ para todos los valores de $x\ne 2$.

Todo lo que están haciendo cuando usted "cancelar" la $(x-2)$s'es la definición de una nueva función de $f_{new}$ que es una extensión de $f$ a la topológico cierre de su dominio. Básicamente la topológico cierre de un conjunto $X$ tiene cada elemento del conjunto a $X$ Y cada punto límite de la set $X$. En este caso, $2$ es un punto límite de la set $\Bbb R \setminus \{2\}$, por lo que el cierre del set $\Bbb R \setminus \{2\}$ es sólo el conjunto de $\Bbb R$. A continuación, la forma en que definimos el valor de $f_{new}(2)$ es lo que hace la función continua en ese punto (no siempre es factible, pero en este caso lo es). Por lo $f_{new}(2) = \lim_{x\to 2} f(x) = 2$.

Por lo que esta función $f_{new}$ toma el mismo valor en $f$ en cada punto del dominio de $f$ y, además, toma el valor de$2$$x=2$. Así que en este caso, $f_{new}$ tiene la firma de $f_{new}: \Bbb R \to \Bbb R$, y se define por $f_{new}(x)=x$. Se $f$ $f_{new}$ la misma función, entonces, si ellos pueden ser definidos por $f(x)=x$? No. Son diferentes porque tienen diferentes firmas: $f$ NO está definido en $x=2$, pero $f_{new}$ es.

Answer 2

La forma más usual de la definición de una función, enseñado desde siempre la gente decidió reducir las matemáticas a la teoría de conjuntos (alrededor de hace un siglo), que se refiere a estos como dos funciones diferentes. Y por esa definición, Dirac de la función delta y sus derivados y relacionados con cosas que no son funciones. Creo que en ocasiones alguien insta a otros enfoques de la habitual reducción a la teoría de conjuntos.

Answer 3

Sí. Eso es correcto. Las funciones son iguales en todos los valores de $x$ con la excepción de $x=2$. La gráfica de la primera función es la línea de $y=x$ con un agujero en el punto de $(2,2)$.

Answer 4

Una función de $f$ es una relación $f\subseteq D\times C$, de tal manera que

$$((x,y),(x',y')\in f\wedge x=x')\implies y=y',$$

donde $D$ es el dominio y $C$ es el co-dominio de la función. El dominio de la identidad de $id$ $\mathbb R$ es total $\mathbb R$, mientras que el dominio de $f$ es $\mathbb R \setminus\{2\}$, lo $id\ne f$.

Answer 5

Bien, sabemos que la función identidad ($f(x)=x$) es el producto de los límites $$\lim_{x\rightarrow2} f(x) = \frac{x(x-2)}{x-2}.$$ Thus making them two equal functions except at $x=2$ due to the limit on the function from $x\rightarrow2$. There will just be a hole at $x=2.$ Así que sí, estás en lo correcto. Ellos son diferentes.