Differentiablility de una función

Question

Dado: $f(x)=\cos(1/x)$ Al $x \neq 0$ y cero en $x=0$, es: $$ F(x)= \int^x_0f(t)\,dt $$ derivable en cero?

Creo que este es differntiable, ya que intuitivamente, se están reduciendo en la zona se están integrando de manera que debe acercarse a cero, pero me vendría de la mano de iniciar la prueba.

Answer 1

Vamos $$G(x)=\left\{\begin{array}{cl}x^2\sin(1/x)&\mbox{ if }x\ne 0,\\ 0&\mbox{ if }x=0.\end{array}\right.$$ Note that $G'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)$ for $x\ne 0$ and $G'(0)=\lim_{h\to0}G(h)/h=0$. Let $$g(x)=\left\{\begin{array}{cl}2x\sin(1/x)&\mbox{ if }x\ne 0,\\ 0&\mbox{ if }x=0.\end{array}\right.$$ Clearly, $g$ is continuous. But then $g$ is a derivative, because all continuous functions are derivatives. It follows that $$f(x)=g(x)-G'(x)$$ es la diferencia de dos de los derivados, y por lo tanto es un derivado de la misma.

Tenga en cuenta también que $f$ es continua salvo en un punto, y es acotado, por lo que es Riemann integrable, y por lo tanto $F$ está bien definido. La función de $F$ es continua en todos los puntos y una antiderivada de $f$ en todos los puntos diferentes de $0$, pero luego es una antiderivada de $f$, ya que el argumento en el párrafo anterior muestra que $f$ tiene una antiderivada, incluso en $0$, y la continuidad nos impide tener una antiderivada de $f$ que difiere de $F$ sólo en un punto.

Que $F$ es una antiderivada de $f$ también puede ser demostrado (por reescalado) como consecuencia de una más general resultado en el Capítulo 14 de Un segundo curso sobre variables reales por van Rooij y Schikhof, pero el argumento anterior es mucho más simple. La integridad, el resultado del van Rooij-Schikhof libro es la siguiente:

Teorema. Supongamos que $j:[0,\infty)\to\mathbb R$ es un derivado, y que $j(x+1)=j(x)$ todos los $x\ge0$. Deje $J$ ser una antiderivada de $j$, y deje $A=J(1)-J(0)$. Definir $h$ $[0,1]$ por $$ h(x)=\left\{\begin{array}{cl}j(x^{-1})&\mbox{ if }0<x\le1,\\ A&\mbox{ if }x=0.\end{array}\right.$$ It is then the case that $h$ is a derivative on $[0,1]$. In particular, if $k:[0,1]\to\mathbb R$ is a derivative, and $k(x)=j(x^{-1})$ for $0<x\le 1$, then $k(0)=A$.

Otro método es simplemente argumentan que $F(x)/x\to0$$x\to 0$. Tratando de apelar a la regla de L'Hôpital no ayuda mucho en esto: $F(x)/x=f(c_x)$ algunos $c_x$$0$$x$. Entonces uno tiene que demostrar que $\lim_{x\to 0}f(c_x)$ existe (y es igual a $0$), pero este no es el mismo argumento de que $\lim_{x\to0}f(x)=0$. Claramente, este último habría implicado el ex. Pero la segunda es falsa. Ya que no tiene mucho control sobre la función de $x\mapsto c_x$ (ver también aquí), que trata de la antigua directamente no parece demasiado factible. En lugar de eso, uno se ve obligado a argumentar directamente en términos de la integral de la $F$ (como ya he sugerido en algunos comentarios antes de la publicación de esta respuesta). Esto no es difícil en el caso en cuestión, y los detalles han sido trabajados en la respuesta al cartel de cobre.sombrero.

Answer 2

$F(x)$ es diferenciable en a $0$ si y sólo si $$ \lim_{x \to 0} \frac{F(x) - F(0)}{x 0} =\lim_{x \to 0} \frac{F(x)}{x} \stackrel{\mathcal{L}}{=} \lim_{x \to 0} F^\prime (x) = \lim_{x \to 0} f(x) $$ existe.

Ahora, la verdadera pregunta es si o no

$$ \lim_{x \to 0} \cos(1 / x)$$

existe. Voy a dejar que usted.

Ver los comentarios de abajo.

ARCE dice:

Answer 3

Aquí es tedioso (pero de primaria):

Tenemos ${F(h) \over h} = {1 \over h} \int_0^h \cos {1 \over x} dx$. Mediante la sustitución de $t={1 \over x}$ obtenemos $\int_0^h \cos {1 \over x} dx =\int_{1 \over h}^\infty \cos t {1 \over t^2} dt$, e integrando por partes con $u = {1 \over t^2}, dv = \cos t \,dt$ da $\int_{1 \over h}^\infty \cos t {1 \over t^2} dt = {1 \over t^2} \sin t \big |_{1 \over h}^\infty+ \int_{1 \over h}^\infty\sin t {2 \over t^3} dt$. Por lo tanto $|\int_0^h \cos {1 \over x} dx| \le |h^2 \sin {1 \over h}|+ \int_{1 \over h}^\infty {2 \over t^3} dt \le h^2+h^2$, de la que podemos obtener $|{F(h) \over h}| \le 2h$, y, por tanto,$F'(0) = 0$.