Se sabe que $\lim\limits_{n\to\infty}\sin n$ no existe.
$\lim\limits_{n\to\infty}\sin(n!)$ ¿existe o no?
Creo que hay una respuesta potencialmente diferente si las funciones utilizan radianes o grados. Digo esto porque las funciones trigonométricas se relacionan con el círculo. Un círculo completo es un número entero de grados, pero un número trascendental de radianes. Los factoriales, por su parte, son números enteros.
Para la función seno en grados, la respuesta es que el límite es cero. Puedo decir esto porque para cada $n \ge 360$ , $360$ divide $n!$ . Y si $360$ divide el número, entonces el seno de ese número es cero.
Para la función seno que utiliza radianes, no se me ocurre cómo demostrarlo en este momento, pero sospecho que la función no converge.
En realidad, si hablamos de grados, podemos reducirlo aún más a $n \ge 180$ porque $\sin 180^{\circ} = \sin 360^{\circ} = 0$ . Y de hecho, porque $6! = 720$ Siempre y cuando $n \ge 6$ , $\sin (n!)^{\circ} = 0$ .
De hecho, $6! = 720 = 2\times360$ Así que si $n$ está en grados, $\sin(n) = 0$ para $n\ge 6$ .
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