Dada una variable aleatoria $$X = \sum_i^n x_i,$$ donde $x_i \in (a_i,b_i)$ son variables aleatorias uniformes independientes, ¿cómo se encuentra la distribución de probabilidad de $X$ ?
La suma de $n$ variables aleatorias iid con distribución uniforme (continua) en $[0,1]$ tiene una distribución denominada Irwin-Hall distribución. En el enlace anterior se pueden encontrar algunos detalles sobre la distribución, incluida la fdc. A continuación, se puede obtener la información correspondiente para los uniformes en $]a,b]$ por transformación lineal.
Quería decir transformación lineal: $Y$ es uniforme om $[a,b]$ si $\frac{Y-a}{b-a}$ es uniforme en $[0,1]$ . Si no es iid, la distribución no tiene un nombre que yo conozca, lo cual no es problema. Pero el cdf, incluso para modestamente pequeño $n$ es extremadamente desordenado. Una vez lo necesité para $8$ y había algunas simetrías, pero tuve que esforzarme mucho. Esto fue antes de los buenos manipuladores simbólicos.
Vale, entonces la distribución cuando no es iid no tiene nombre por lo que sabemos, pero entonces ¿cómo la encuentro? ¿Debo tratar de utilizar la convolución como sugiere el otro cartel?
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Hay un artículo sobre esto para la suma de uniformes no IID. No he leído el artículo completo, pero parece relevante. SOBRE LA DISTRIBUCIÓN DE LA SUMA DE n VARIABLES ALEATORIAS UNIFORMES NO DISTRIBUIDAS IDENTICAMENTE arxiv.org/pdf/math/0411298v1.pdf Oh, también el teorema 2.2 aquí heldermann-verlag.de/eqc/eqc01_16/eqc16002.pdf