En el cálculo, ¿cómo podemos calcular la longitud de arco de una curva mediante la aproximación de la curva con una serie de segmentos de línea y, a continuación, tomamos el límite cuando el número de segmentos de línea que se extiende hacia el infinito. Esto es perfectamente válido enfoque para calcular la longitud del arco, y es obvio que va a permitir calcular correctamente la longitud de cualquier (subsanables) de la curva. Pero obviamente no es la forma en que la gente intuitivamente pensar acerca de la longitud de una curva.
Aquí es cómo se introdujo arclength a nosotros en la escuela primaria. Si desea medir la longitud de un segmento de línea recta, el uso de una regla. Si desea medir la longitud de una curva, la superposición de la curva con un trozo de cuerda, y luego enderezar la cadena y medir con una regla.
Así que me preguntaba si es posible hacer una definición de la longitud del arco que conserva el espíritu de la definición. Sin utilizar el cálculo basado en la definición de longitud, es allí cualquier manera de definir lo que significa para una curva a ser una "longitud de la preservación de la deformación" de la otra curva? Si es posible, se podría construir de clases de equivalencia de curvas que son la longitud de la preservación de las deformaciones de la una de la otra, y podemos definir la longitud asociada con una equivalencia de la clase a ser la longitud de la línea recta que está en la clase.
Hay algo en la topología que nos permitiría hacer una definición? Nos gustaría tener en cuenta la métrica Euclidiana, de alguna manera, ya que, por ejemplo, en Taxi de la geometría de la circunferencia de un círculo es de $8r$ en lugar de $2\pi r$ (que es la razón por la que tus amigos enviándoles que tonto $\pi = 4$ imagen).
Cualquier ayuda sería muy apreciada.
Gracias de Antemano.
