La integración es un proceso continuo que la versión de la suma. De modo que su suma es en realidad un discreto aproximación de la integral. Tendrá el mismo líder plazo, pero la próxima términos diferentes (la suma se aproxima a una función suave con rectángulos, como en la definición de la integral de la suma, por lo que hay algunas discrepancias).
El discreto versión para poder arbitrario es dada por el Faulhaber la fórmula de
[ http://en.wikipedia.org/wiki/Faulhaber%27s_formula ]. Con un poco de pensamiento se puede ver esto también puede ayudar a derivar la relación entre la suma de una serie de ($\sum_n a_n$) y un integrante de ($\int a(x)dx$). Con una cuidadosa manipulación de la serie de Taylor de $a(x)$ bajo la integral, mediante la Faulhaber la fórmula en el proceso, llegar a la de Euler-Maclaurin fórmula
[ http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_maclaurin_formula]
lo cual es muy útil para el cálculo de la serie (con frecuencia es más fácil integrar). Te darás cuenta de cómo los números de Bernoulli aparecen tanto en el Faulhaber y de Euler-Maclaurin de la serie.
Es muy divertido intentar hacer esto en papel, se aprende mucho.
EDITAR:
Una función suave se puede aproximar como un polinomio en torno a algún punto... los coeficientes son los derivados de la función:
$$f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\frac{1}{2!}f''(x)h^2+\cdots$$
donde $h$ es un desplazamiento desde el elegido origen $x$. Ahora puedes aproximar los valores $f(1)$, $f(2)$, $f(n)$ y así sucesivamente mediante el establecimiento de $x=0$, $h=n$:
$$f(n)=f(0)+f'(0)n+\frac{1}{2!}f''(0)n^2+\cdots$$
Ahora, toma la suma que desea evaluar:
$$\sum_{n=0}^N f(n)=f(0)\sum_n^N 1 +f'(0)\sum_n^N n+\frac12 f''(0)\sum_n^N n^2+\cdots$$
$$=f(0) N +f'(0)\frac{N(N+1)}{2}+\frac{1}{2!}f''(0)\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}+\cdots$$
Por lo tanto, si se tiene la expresión para $n$-ésimo término de algunas series que desea suma ( $\sum a_n=\sum f(n)$ ), entonces se puede expresar como una suma de los derivados de los tiempos de la Faulhaber los polinomios que aparecen en tu post original.
Ahora, si en lugar de sumar sólo tratar de integrar la función (de nuevo el uso de la serie de Taylor):
$$\int_0^N f(x)dx=f(0)N+f'(0)\frac{N^2}{2}+\frac{1}{2!}f''(0)\frac{N^3}{3}+\cdots$$
Ahora usted puede ver el resultado es muy similar... lo único que difiere es en un par de mayor orden de los términos. Si se evalúa $\sum_{n=0}^N f(n)-\int_0^N f(x)dx$ obtener el valor residual en el de Euler-Maclaurin fórmula, que es el de los términos adicionales que se observa en la comparación de integral a la Faulhaber del polinomial. Felicidades, casi derivados de un muy famoso y misterioso desde la clásica fórmula de cálculo.
En esta forma, sólo coincide con el límite inferior de la convencional de Euler-Maclaurin, si desea la versión completa con derivados en el límite superior, usted tiene que escribir $\sum_{n=0}^N=\sum_{n=0}^\infty-\sum_{n={N+1}}^\infty$ y hacer un cambió la versión de la fórmula anterior para la segunda suma (a partir de $N+1$ en lugar de $0$.
Por supuesto... la convergencia de esto es cuestionable (es un asintótica de la serie) -- la serie de Taylor, en general, no convergen en todos los reales.
EDIT2:
Y cómo llegar a la Faulhaber de polinomios? Usted obtener mediante la configuración de la polinomio con coeficientes indeterminados y la comparación de términos:
$$\sum_{n=0}^N n^k = a_0 +a_1 N + a_2 N^2+\cdots+ a_{k+1}N^{k+1}$$
$$\sum_{n=0}^N n^k=\sum_{n=0}^{N-1}n^k+N^k$$
El uso de la primera en la segunda:
$$a_0 +a_1 N + a_2 N^2+\cdots+ a_{k+1}N^{k+1}=a_0 +a_1 (N-1) + a_2 (N-1)^2+\cdots+ a_{k+1}(N-1)^{k+1}+N^k$$
De $N=0$ obtener $a_0=0$. A continuación, recoger los términos con $N$, términos con los $N^2$ y así sucesivamente. Usted obtiene un conjunto de ecuaciones lineales de coeficientes de $a_n$. Lo que se obtiene son los Faulhaber los polinomios que (marque la wiki) como alternativa, se puede también ser expresada con números de Bernoulli y binomial coefficents.
Para $k=3$, por ejemplo, se obtiene
$$a_1 N + a_2 N^2+a_3 N^3 + a_4 N^4=a_1 (N-1) + a_2 (N-1)^2+a_3 (N-1)^3+a_4 (N-1)^4+N^3$$
que después de la expansión (nota que el lado izquierdo se cancela con los principales términos), se obtiene:
$$0=-a_1+a_2(1-2N)+a_3(-1+3N-3N^2)+a_4(1-4N+6N^2-4N^3)+N^3$$
división de poderes:
$$a_1-a_2+a_3-a_4=0$$
$$2a_2-3a_3+4a_4=0$$
$$3a_3-6a_4=0$$
$$4a_4=1$$
El sistema siempre es triangular superior (en realidad, si usted escribe la Matriz, es una parte del triángulo de Pascal con la alternancia de signos, no es necesario en realidad ampliar los polinomios, sólo tiene que escribir la matriz y corrección de la columna de la derecha (0,0,0,0,...1)), así que la solución es un simple sustitución:
$$a_4=1/4$$
$$a_3=1/2$$
$$a_2=1/4$$
$$a_1=0$$
Que conduce a la
$$\sum_{n=0}^N n^3=\frac{N^2+2N^3+N^4}{4}$$
Así que todo se puede hacer a mano. Diviértete con $\sum n^4$ :)
