El radio de convergencia y la prueba de razón de

Question

Mi libro dice que, habida cuenta de la potencia de la serie $\sum_{n = 1}^\infty c_nz^n$ cuando la $c_n$ son complejas, el radio de convergencia de la serie es $\dfrac{1}{L}$ donde $L = \lim \sup \sqrt[n]{|c_n|}$. De modo que el radio de convergencia se define el uso de la raíz de la prueba. Ya que también podemos aplicar la prueba de razón, es justo decir, que el radio de convergencia es $\dfrac{1}{L}$ donde $L = \lim \sup \bigg|\dfrac{c_{n+1}}{c_n}\bigg|$?

Answer 1

Considerar la serie $$1+2z+3^2z^2+2^3z^3+3^4z^4+2^5z^5+3^6z^6+\cdots.$$ La necesaria limsup de la $n$-th raíces es $3$, y el radio de convergencia es $\frac{1}{3}$.

Ahora mira a los ratios $\dfrac{c_{n}}{c_{n+1}}$. Te darás cuenta de que son muy maleducado, y nos dicen esencialmente nada sobre el radio de convergencia.

Answer 2

La prueba de razón es estrictamente más débil que la raíz de la prueba en el sentido de que si el test del cociente da una respuesta, entonces también lo hace la raíz de la prueba y son los mismos. Sin embargo, como las otras respuestas muestran, hay muchas series que no da ninguna respuesta. Aunque están utilizando las $\limsup$ en lugar de $\lim$, el límite de la relación puede no ser definido si la serie contiene una infinidad de ceros, que hacen que los correspondientes coeficientes indefinido, como en julien respuesta.

En general, la prueba de razón de que es más fácil para el común de la serie debido a que involucran operaciones algebraicas para que el cómputo de la $n$th raíces es difícil, pero para el que las proporciones se pueden calcular con bastante facilidad. Pero para los teóricos de los efectos es inferior.

Answer 3

La segunda fórmula, no se sostiene en general, sólo le da un límite inferior para el radio de convergencia. Para empezar, se requiere de la $c_n$'s ser eventualmente distinto de cero. Por ejemplo $$ \frac{1}{1-z^2}=\sum_{n\geq 0}z^{2n}. $$ tiene radio de convergencia $1$. Pero $c_{2n}=1$$c_{2n+1}=0$. Así que el siguiente no está definido: $$ \no\exists\; \limsup \frac{|c_{n+1}|}{|c_{n}|}. $$ Ahora bien, si el $c_n$'s son, finalmente, distinto de cero, tenga en cuenta que $$ \limsup \frac{|c_{n+1}z^{n+1}|}{|c_nz^n|}=|z|\limsup \frac{|c_{n+1}|}{|c_{n}|}. $$ Una serie de $\sum a_n$ $a_n\geq 0$ converge siempre que $\limsup a_{n+1}/a_n<1$. De ello se deduce que el radio de convergencia $R$ ha $$ R\geq \frac{1}{\limsup \frac{|c_{n+1}|}{|c_{n}|}}=\liminf \frac{|c_{n}|}{|c_{n+1}|}. $$ Para un ejemplo donde este es estricta, tome $c_{2n}=2^n\cdot 3^n=6^n$$c_{2n+1}=2^n\cdot 3^{n+1}=3\cdot 6^n$. Entonces $$ \frac{1}{R}=\limsup \sqrt[n]{|c_n|}=\sqrt{6}<3=\limsup \frac{|c_{n+1}|}{|c_n|}. $$

Lo que es verdadero y conveniente en muchos casos es la siguiente: si $\lim \frac{|c_{n+1}|}{|c_n|}$ existe, entonces $$ R=\frac{1}{\lim \frac{|c_{n+1}|}{|c_n|}}=\lim \frac{|c_{n}|}{|c_{n+1}|}. $$