Los números de Fibonacci con mayor factor principal aparezca más de una vez

Question

$F_6=2^3$ $F_{12}=2^43^2$ . Hay un $n>12$ tal que $F_n=p^2k$ $p$ el primer y el $k$ $p$- lisa?

Answer 1

Creo que esta es una pregunta abierta.

Tenga en cuenta que si $~p~$ es un número primo entonces

$F_p \equiv \left(\frac{p}{5}\right) \pmod p ~~\text {and}~~ F_{p-\left(\frac{p}{5}\right)} \equiv 0 \pmod p$

No se sabe si existe un prime $p$ tal forma que:

$F_{p-\left(\frac{p}{5}\right)} \equiv 0 \pmod {p^2}$

Ver Wikipedia artículo para obtener más información .

Answer 2

Hay $x\exp\left(-(1+o(1))\sqrt{\log x\log\log x}\right)$ números de hasta x que son divisible por el cuadrado de su mayor factor primo. Interpretar esto como una probabilidad, no hay forma heurística sobre $$ \int^\infty_{1000}e^{-\sqrt{\log\varphi\cdot x\log x}}dx\approx2.8\cdot10^{-24} $$ tal n. En la medida en que no existe una "conspiración" entre los números de Fibonacci, parece probable que $F_{12}$ es el último ejemplo.