el modulo de la suma de poderes consective

Question

Estoy pensando en si hay algún patrón sobre sumas de consective poderes de mod $m$.

Asumir $m$,$n$,$k$ son enteros. Denotar $$f_k(n)=1^k+2^k+\cdots+n^k,$$

La pregunta es: ¿cómo se $f_k(n)$ se comportan modulo $m$, especialmente en el caso de que $k=n$ $(m,n)=1?$

Answer 1

He aquí un papel de mina que muestra el preciso poder de $2$ dividiendo la suma de los importes: http://arxiv.org/abs/1010.2275

El caso general es mucho más difícil, por supuesto... pero para regular los números primos, hay algunas formas sencillas de determinar la potencia exacta. A partir de eso, su "módulo" la pregunta es probable fáciles de determinar.