Resuelve la ecuación de la serie infinita con términos logarítmicos.

Question

Resuelve la ecuación logarítmica: $$\frac{\log x^2}{\log^{2}x}+\frac{\log x^3}{\log^{3}x}+\cdots+\frac{\log x^k}{\log^{k}x}+\cdots=8$$

aquí $\log$ se supone que tiene una base $10$ .

Hasta ahora he conseguido reescribirlo como: $$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{\log^{n-1}{x}}=8 \iff \sum_{n=2}^{\infty} n\log_{x}^{n-1}{10}=8$$

Pero no sé cómo encontrar la suma infinita.

Answer 1

Lo sabemos:

$$\sum_{n=1}^\infty nf^{n-1}(x)=\frac 1{(1-f(x))^2}$$

Ahora dices que has reordenado tu ecuación como

$$\sum_{n=2}^\infty n\log_x^{n-1}10=8$$

Así que ahora tienes que resolver la ecuación:

$$\frac 1{(1-\log_x10)^2}-1=8$$

Reorganizar los términos nos lleva a:

$$\log_x10=\frac 23$$

Que solución es: $10\sqrt {10}$

Answer 2

Observa: Desde $$ \sum_{n=2}^\infty\frac{n}{\log^{n-1}(x)}=8, $$ sabemos que multiplicando por $\frac{1}{\log x}$ tenemos $$ \sum_{n=2}^\infty\frac{n}{\log^{n}(x)}=\frac{8}{\log x}, $$ Por lo tanto, $$ \sum_{n=2}^\infty\frac{n}{\log^{n-1}(x)}-\sum_{n=2}^\infty\frac{n}{\log^{n}(x)}=8-\frac{8}{\log x}. $$ A continuación, reindexando la segunda suma, tenemos $$ \sum_{n=2}^\infty\frac{n}{\log^{n-1}(x)}-\sum_{n=3}^\infty\frac{n-1}{\log^{n-1}(x)}=8-\frac{8}{\log x}. $$ Cancelando en las sumas tenemos $$ \frac{2}{\log x}+\sum_{n=3}^\infty\frac{1}{\log^{n-1}(x)}=8-\frac{8}{\log x}. $$ La suma restante es una serie geométrica (y asumiendo $|\log x|>1$ ), tenemos $$ \frac{2}{\log x}+\frac{1}{\log^2 x}\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{\log^{n}(x)}=8-\frac{8}{\log x}. $$ Simplificando la serie geométrica, tenemos $$ \frac{2}{\log x}+\frac{1}{\log^2 x}\frac{\log x}{\log x-1}=8-\frac{8}{\log x}. $$ Escribir $y=\log x$ tenemos $$ \frac{2}{y}+\frac{1}{y}\frac{1}{y-1}=8-\frac{8}{y}. $$ Despejando las fracciones, tenemos $$ 2(y-1)+1=8y(y-1)-8(y-1). $$ Simplificando, sabemos que $$ 0=8y^2-18y+9. $$ Aplicando la fórmula cuadrática, tenemos $$ y=\frac{3}{4},\frac{3}{2}. $$ Ya que, antes asumimos que $|y|>1$ se deduce que $$ \log x=\frac{3}{2} $$ o que $$ x=10^{3/2}. $$ Esta respuesta se comprueba con wolfram alpha.

Answer 3

Dejemos que $x=10^{y}$ . Entonces tenemos

$$\sum_{n=2}^\infty ny^{1-n}$$

Configuración $t=y^{-1}$ obtenemos

$$\sum_{n=2}^\infty nt^{n-1}={1\over (1-t)^2}-1.$$

Podemos ver que esta fórmula es verdadera porque al multiplicar dos series de potencias, $\sum a_nx^n, \sum_nb_nx^n$ obtenemos el coeficiente de $x^n$ es $\sum_{k+j=n}a_kb_j$ y

$$\sum_{k+j=n}1\cdot 1=n$$

ya que hay $n$ formas de escribir $n=k+j$ , a saber $1+(n-1), 2+(n-2),\ldots (n-1)+1$ .

Si se establece igual a $8$ obtenemos $(1-t)^2={1\over 9}$ es decir

$$1-t=\pm {1\over 3}.$$

Entonces esto significa

$$t={3\pm 1\over 3}\iff y= {3\over 3\pm 1}$$

$|y|>1$ para que esto converja, así que $y=3/2$ .

Así que $x=10^{3/2}=10\sqrt{10}$ .