¿Debería la dimensión de Krull ser un cardenal?

Question

Un conjunto finito totalmente ordenado $\quad \mathcal P_0 \varsubsetneq \mathcal P_1\varsubsetneq \dots \mathcal \varsubsetneq \mathcal P_n \quad$ de ideales primos de un anillo $A$ se dice que es una cadena de longitud $n$ . Como es sabido, el sumo de las longitudes de dichas cadenas se denomina dimensión de Krull $\dim(A)$ del anillo $A$ .

Si las longitudes de estas cadenas no están acotadas, se dice que el anillo es de dimensión infinita: $\dim(A)=\infty$ Esto puede ocurrir, sorprendentemente, incluso para un anillo noetheriano $A$ .

Pero en el caso de dimensión infinita podríamos considerar subconjuntos arbitrarios totalmente ordenados $\Pi \subset Spec(A)$ de los ideales primos, su cardinalidad $card(\Pi)$ y luego tomar el apoyo de todos esos cardenales. Llamemos a este sup la dimensión cardinal de Krull del anillo $A$ .

Una igualdad $\dim(A)=\aleph$ sería entonces una medida más cuantitativa de la infinita dimensionalidad de $A$ que sólo $\dim(A)=\infty$

Mi pregunta es si se conocen resultados relacionados con esa dimensión cardinal de Krull. Por ejemplo: para X un espacio topológico, ¿tiene la dimensión cardinal de Krull $\mathcal C(X)$ (el anillo de funciones continuas sobre $X$ ) se ha calculado? No me parece trivial, ni siquiera para $X=\mathbb R$ . Hay variantes obvias de esta cuestión relativas a anillos de funciones diferenciables sobre colectores, etc. Gracias de antemano por cualquier información sobre este tema.

Answer 1

La dimensión de Krull, definida por Gabriel y Rentschler, de los anillos no necesariamente conmutativos es un ordinal. Véase, por ejemplo, [John C. McConnell, James Christopher Robson, Lance W. Small, Anillos noetherianos no conmutativos ].

De manera más general, definen el desviación de un poset $A$ de la siguiente manera. Si $A$ no tiene elementos comparables, $\mathrm{dev}\;A=-\infty$ ; si $A$ es tiene elementos comparables pero satisface el c.c.d., entonces $\mathrm{dev}\;A=0$ . En general, si $\alpha$ es un ordinal, decimos que $\mathrm{dev}\;A=\alpha$ si (i) la desviación de $A$ no es un ordinal estrictamente menor que $\alpha$ y (ii) en cualquier secuencia descendente de elementos en $A$ todos los factores excepto los finitos (es decir, los intervalos de $A$ determinado por los elementos sucesivos de la secuencia) tienen una desviación menor que $\alpha$ .

Entonces el Gabriel-Rentschler dejó la dimensión de Krull $\mathcal K(R)$ de un anillo $R$ es la desviación del conjunto de ideales de la izquierda de $R$ . Un poset no tiene necesariamente una desviación, pero si $R$ es nötheriano de izquierdas, entonces $\mathcal K(R)$ se define.

Algunos ejemplos: si un anillo es nötheriano conmutativo (o más generalmente satisface una identidad polinómica), entonces su dimensión G-R Krull coincide con la dimensión combinatoria de su espectro primo, por lo que en esta definición se extiende la clásica cuando estas dimensiones son finitas. Un ejemplo no conmutativo es el álgebra de Weyl $A_{n}(k)$ : si $k$ tiene la característica cero, entonces $\mathcal K(A_n(k))=n$ y si $k$ tiene una característica positiva, $\mathcal K(A_n(k))=2n$ . El libro de McConnel y Robson tiene mucha información y referencias.