Alternativo definición de vector paquete?

Question

Recordemos la definición habitual de una $k$-dimensiones del vector paquete (todo lo que se supone que ser continua/liso/etc dependiendo de la categoría):

Un $k$-dimensiones del vector paquete es un triple $(E,B,\pi)$, donde $\pi\colon E \to B$, la satisfacción de las siguientes:

a) El mapa de $\pi$ a (no sé si todos, pero yo se).

Para cada una de las $p\in B$:

b) La fibra $E_p=\pi^{-1}(p)$ es un (real) de espacio vectorial.

c) Hay un vecindario $U\ni p$ y un diffeomorphism $\phi\colon \pi^{-1}(U) \to U \times \mathbb{R}^k$ tal que $P_1\circ \phi = \pi$ donde $P_1$ es la proyección en el primer factor.

d) para cada una de las $q\in U$, la restricción $\phi\colon E_q \to {q}\times \mathbb{R}^k$ (donde $\phi$ es el diffeomorphism de c)) es un isomorfismo lineal.

Mi Pregunta

Puede d) ser reemplazado con

d') la restricción $\phi\colon E_p \to {p}\times \mathbb{R}^k$ es un isomorfismo lineal.

Edit: En la versión original, la restricción de $\phi$ a cada fibra a $U$ debe ser un isomorfismo lineal. En la versión alternativa, esto sólo es necesario para la sola fibra $E_p$.

Answer 1

(La siguiente es la elaboración de Martin de Brandenburgo, la respuesta a la MO cross-post de esta pregunta.)

La respuesta a mi pregunta, como contraejemplo a continuación se muestra, es que no.

Considere la posibilidad de la proyección canónica $\pi$$E:=[0,1]\times \mathbb{R}$$[0,1]$. Para $t\neq1/2$. Dotar a la fibra $E_{1/2}=\{1/2\}\times\mathbb{R}$ con la "torcida" espacio vectorial estructura inducida por cualquier lineales homeomorphism $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ (como $x\mapsto x^3+x$)---en otras palabras, definir $x+'y:=f^{-1}(f(x)+f(y))$$r\cdot'x:=f^{-1}(rf(x))$. Equipar a cada una de las otras fibras de $E_t=\{t\}\times \mathbb{R}$ con el estándar de espacio vectorial estructura heredada de $\mathbb{R}$.

Esto claramente satisface la alternativa de la definición de un vector de paquete---al $t\neq 1/2$, tome $\varphi$ a de identidad, y cuando se $t=1/2$, tome $\varphi$$\operatorname{id}\times f$. Sin embargo, esto no satisface la definición de un vector paquete. Para ver esto, supongamos que tenemos un local de la trivialización (el tipo de original, no es mi tipo alternativo) $(\varphi,U)$ cerca de $1/2$. Deje $\varphi_2$ ser el segundo componente de la $\varphi$.

Para $t\neq 1/2$, la rebanada $\varphi_2(t,-)$ es un continuo lineal automorphism de la (estándar) de reales y por lo tanto debe ser de la forma $\varphi_2(t,x)=h(t)x$ para algunos distinto de cero $h(t)\in \mathbb{R}$. La continuidad de $\varphi_2$ requiere entonces que el $h$ ser continua, donde se define.

Al $t=1/2$, la rebanada $\varphi_2(1/2,-)$ es todavía un isomorfismo lineal continua, pero esta vez se trata de la "torcida" números reales $E_{1/2}$ para el estándar de reales. Pero por construcción, $f$ también es un isomorfismo. Así, la composición de $\varphi_2(1/2,-)$ $f^{-1}$ da un continuo lineal automorphism de los reales y por lo tanto es de la forma $\varphi_2(1/2,f^{-1}(u))=cu$ para algunos distinto de cero $c\in\mathbb{R}$. Por lo tanto, $\varphi_2(1/2,x)=\varphi_2[1/2,f^{-1}(f(x))]=cf(x)$.

La combinación de los dos anteriores resultados, se han $$\varphi_2(t,x)= \begin{cases} cf(x), &\text{if }t=1/2,\\ h(t)x, &\text{if }t\neq 1/2. \end{casos}$$ Así, desde la $\varphi_2$ es continua, $$f(x)=\frac{1}{c}\varphi_2(1/2,x)=\frac{1}{c}\lim_{t\to1/2}\varphi_2(t,x)=\frac{1}{c}\lim_{t\to1/2}h(t)x = \left(\frac{1}{c}\lim_{t\to1/2}h(t)\right)x.$$ En otras palabras, $f$ es lineal, contradiciendo el hecho de que no lo es.