La Picard-Brauer breve secuencia exacta

Question

Parece ser un lugar bien entendido hecho de que, dado anillos conmutativos $R,S$, y un homomorphism $R \to S$ hay una breve secuencia exacta $$\text{Pic}(R) \to \text{Pic}(S) \to F_0 \to \text{Br}(R) \to \text{Br}(S)$$

relacionadas con la Picard y Brauer grupos. En cierto sentido, esto no es sorprendente, como Picard grupos están relacionados con la primera etale cohomology grupos, y Brauer grupos (torsión en el segundo. (Por ejemplo, ver aquí, aunque no estoy seguro de lo $F_0$ es)

Sin embargo, me parece que no puede encontrar este resultado demostrado en la literatura, y no parece obvio para mí de cómo probar esto (claramente primer y el último mapas surgen del hecho de que la Picard y Brauer grupos se functors $\text{Ring} \to \text{Ab}$, por lo que estoy interesado en el medio 3 términos).

Hay un 'libro de texto' de referencia de nivel para llegar a este resultado? Tenga en cuenta que puedo encontrar diversas generalizaciones de este resultado usando monoidal simétrica categorías y de lujo de la categoría de teoría, pero estoy puramente interesado en una "algebraica" prueba del caso de los anillos.

Answer 1

Aquí está una manera de hacerlo. Bajo las condiciones adecuadas en el anillo (al menos Milne Étale Cohomology tiene algunas condiciones que figuran en ella, pero no lo voy a buscar ahora) tenemos que la Azumaya álgebra definición de la Brauer grupo es el mismo que el étale cohomological uno $$Br(R)=H^2(R, \mathbb{G}_m):=H^2_{et}(\operatorname{Spec}(R), \mathbb{G}_m).$$ We always have that $$Pic(R)=H^1(R, \mathbb{G}_m):=H^1_{et}(\operatorname{Spec}(R), \mathbb{G}_m).$$

Ahora, dado un anillo homomorphism $f:R\to S$ obtenemos un mapa (sólo tendremos que llamar a la misma cosa) $f:\operatorname{Spec}(S)\to \operatorname{Spec}(R)$. Considerar la Leray espectral de la secuencia de este mapa y la gavilla $\mathbb{G}_m$, es decir,$$H^p(R, R^qf_*\mathbb{G}_m)\Rightarrow H^{p+q}(S, \mathbb{G}_m)$$ (unfortunately, confusing due to $ R$ repetición).

El largo de la secuencia exacta de bajo grado términos nos da (utilizando el cohomological interpretación de todo) $$Pic(R)\to Pic(S)\to H^0(R, R^1f_*\mathbb{G}_m)\to Br(R)\to Br(S)\to \cdots$$

Esto nos dice lo que el $F_0$ es. Es sólo el global de las secciones de la primera más directa de la imagen de $\mathbb{G}_m$.

Supongo que usted necesita saber cuando el cohomological Brauer grupo es el mismo que el grupo de Brauer para que esto funcione, y en qué condiciones se necesitan para la Leray espectral de la secuencia de aplicar.