En el espacio de todas las matrices con dimensión $n$, hallar la máxima posible dimensión de un subespacio $V$ tal que $\forall X,Y\in V,\, \operatorname{tr}(XY)=0$.
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Chris Ballance
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(Esto no es un problema de difícil solución, pero tampoco es una tarea fácil problema. Me pregunto si el problema original es mucho más simple y el OP ha copiado el enunciado del problema erróneamente.)
Tenga en cuenta que $\operatorname{tr}(XY)=\operatorname{vec}(Y^T)^T\operatorname{vec}(X)= \operatorname{vec}(Y)^TP\operatorname{vec}(X)$, where $P$ is the symmetric permutation matrix defined by $P_{(j-1)n+i,\ (i-1)n+j}=P_{(i-1)n+j,\ (j-1)n+i}=1$ for $i,j\in\{1,\ldots,n\}$ and other entries zero. Since the matrix $P$ is orthogonally similar to $I_p\oplus (-I_q)$, where $p=n(n-1)/2$ and $p=n^2-q$, a maximal matrix subspace $V$ such that $\operatorname{tr}(XY)=0$ whenever $X,Y\in V$ can be identified with a maximal subspace $W\subconjunto\mathbb{R}^{n^2}$ such that $u^T(I_p\oplus(-I_q))v=0$ whenever $u,v\W$.
Podemos ahora afirmar que $\dim W\le q$. Suponer lo contrario. Entonces existe un conjunto de $q+1$ vectores linealmente independientes $u_1,\ldots,u_{q+1}\in\mathbb{R}^{n^2}$ tal que $u_i^T(I_p\oplus(-I_q))u_j=0$ todos los $i,j=1,\ldots,q+1$. Por lo tanto, no existe un valor distinto de cero combinación lineal $x=\sum_i c_iu_i\not=0$, que el último $q$ entradas de $x$ son cero. Escribir $x^T=(\tilde{x}^T,0_{1\times q})$. A continuación, $x^T(I_p\oplus(-I_q))x=\|\tilde{x}\|^2\not=0$ porque $\tilde{x}\not=0$, pero también tenemos $x^T(I_p\oplus(-I_q))x=0$ porque $x$ es una combinación lineal de $u_1,\ldots,u_{q+1}$. Así llegamos a una contradicción. Por lo tanto,$\dim W\le q$.
Por último, la dimensión $q$ es alcanzable. Por ejemplo, consideremos el conjunto de todos los estrictamente triangular superior de las matrices. De ahí el necesario máxima dimensión es $q=n(n-1)/2$.
