Si el grupo de Galois de algún polinomio irreducible $f(x)$ más de algún campo $F$ es conocido, ¿hay algún método para calcular el grupo de Galois del polinomio $f(x^2)$ sobre el mismo campo?
Respuesta
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Puntos
11
Los dos grupos se relacionan en el siguiente sentido: suponiendo que $ f \in F[x] $ es separable con $ \operatorname{char} F \neq 2 $ si $ L/F $ es la división de campo de la $ f(x) $ $ M/F $ es la división de campo de la $ f(x^2) $ en algunos fijos algebraicas cierre de $ \bar{F} $, $ L $ es un subcampo de la $ M $.
La identificación de $ H = \textrm{Gal}(L/F) $$ G = \textrm{Gal}(M/F) $, se observa que el $ H $ es un cociente de $ G $, es decir, no es un surjective homomorphism $ G \to H $ dado por la restricción a $ L $. Por otra parte, la extensión de $ M/L $ es obtenido por contigua a las raíces cuadradas de los elementos de a $ L $, por lo que el grupo de Galois $ \textrm{Gal}(M/L) $ admite que una simple descomposición: es la suma directa de un número finito de copias de $ \mathbf Z/2\mathbf Z $. Así, vemos que los grupos de Galois $ G $ $ H $ caber en una corta secuencia exacta
$$ 0 \to (\mathbf Z/2\mathbf Z)^n \to G \to H \to 0 $$
donde $ [M:L] = 2^n $. Yo no creo más que se puede inferir que, en general, sobre el grupo $ G $ a partir de la estructura del grupo $ H $.
