¿Por qué una teoría perturbativa implica que el acoplamiento debe ser creciente o decreciente?

Question

Estoy leyendo parte del libro de teoría cuántica de campos de Schwartz y he encontrado un pasaje que me parece confuso. En él se dice que

Cuando el acoplamiento es pequeño, la teoría es perturbativa, y entonces el acoplamiento debe aumentar o disminuir con la escala. (p442, 1ª edición)

Creo que estoy confundiendo lo que pueden ser dos definiciones diferentes de perturbador. Yo entendía por perturbativo que el acoplamiento es lo suficientemente pequeño como para justificar una expansión perturbativa. Pero no veo cómo este concepto de perturbativo implica algo sobre cómo debería cambiar el acoplamiento con la escala, más concretamente cómo un acoplamiento pequeño implica que la primera derivada del acoplamiento con respecto a la escala debería ser de un solo signo. Gracias.

Answer 1

Estoy de acuerdo en que la frase no es correcta (en el sentido de que el autor no debería haber escrito "debe" ). En realidad, existen tres posibilidades:

Primero:

Si el acoplamiento aumenta con $\mu$ como en QED, llega a cero a grandes distancias.

Segundo:

Si disminuye con $\mu$ ...como en QCD, llega a cero a distancias de ordenación...

Y la tercera posibilidad:

La tercera posibilidad en una teoría perturbativa es que $\beta(\alpha) = 0$ exactamente, en cuyo caso la teoría es invariante de escala.

También estoy de acuerdo en que no tiene nada que ver con la perturbatividad. Ya que incluso si la teoría es no perturbativa...

Incluso si la teoría es no-perturbativa, se puede definir un acoplamiento a través del valor de la función de Green.

BTW -- todas las citas anteriores son del mismo párrafo de donde viene tu frase. Así que yo diría que esa frase es bastante desafortunada.

Edita: En cuanto a las preguntas de los comentarios, añadiré otra cita:

Con acoplamientos múltiples hay otras posibilidades de solución a los RGE. Por ejemplo, se puede imaginar una situación en la que los acoplamientos circulen unos alrededor de otros. Desde luego, es fácil escribir ecuaciones diferenciales acopladas con soluciones extrañas...

Así que, sí, hay posibilidades de comportamientos RG más complejos. Supongo que lo que el autor quería hacer - es dar una visión general que va desde ejemplos sencillos a otros más complejos. Empezando con QFT perturbativa de acoplamiento simple con $\beta \ne 0$ y luego añadiendo posibilidades más complejas. Y estoy de acuerdo en que todo el párrafo no transmite muy bien esta idea.

Answer 2

La teoría de la perturbación y el hecho de que los acoplamientos funcionen en la mayoría de las teorías cuánticas de campos no están en realidad directamente relacionados entre sí. Siempre que el acoplamiento sea lo suficientemente pequeño, se puede utilizar la teoría de perturbaciones. Cuanto más pequeño, mejor, por supuesto.

El acoplamiento se ejecuta, porque la fuerza de la interacción difiere en diferentes escalas de energía. Esto se pone de manifiesto cuando se calculan órdenes superiores en la expansión perturbativa. A partir de los resultados de los cálculos de orden superior se puede calcular algo llamado el función beta y a partir de ahí se puede calcular cómo funciona el acoplamiento. Para más detalles sobre cómo funciona esto, se puede leer en análisis del grupo de renormalización .

Puede suceder (como ocurre en la cromodinámica cuántica o QCD) que el acoplamiento sea tan fuerte a una escala de energía determinada que la teoría de perturbaciones se rompa. La expansión perturbativa no funciona en esta situación, porque los órdenes superiores se vuelven tan significativos, si no más, que los inferiores. En tales situaciones, hay que recurrir a las llamadas métodos no pertubadores (como Ecuaciones de Schwinger-Dyson ).

Answer 3

Tu comprensión de la teoría de la perturbación está bien. La afirmación de Matt es un poco chapucera.

Gran parte de su libro versa sobre cómo se calcula el trayectorias del grupo de renormalización es decir, la variación del acoplamiento con la energía/escala, en teoría de perturbaciones el método más fácil para conseguirlo en QFT. (Pero se ve en ese artículo que esto es no es el único método . En particular, técnicas de hilado en bloque en modelos reticulares lo consiguen de forma no perturbativa).

Teoría de la perturbación en torno a un punto fijo, un pequeño g _c permite determinar el -función es decir, la evolución del acoplamiento con la escala, como una serie de potencias en g así, lejos de g _c El acoplamiento puede aumentar, disminuir o no moverse. (Esta última contingencia se da en el célebre N \=4 teoría supersimétrica de Yang-Mills .)

Peor aún, en sistemas no relativistas se puede encontrar incluso limitar ciclos es decir, el acoplamiento puede aumentar y luego disminuir con la escala, etc. Pero se trata de raras reconditeces técnicas. modelos Véase, por ejemplo Curtright, Jin y Zachos, 2012 rara vez se encuentran en la "vida real".

En la mayoría de las aplicaciones de QFT en HEP y materia condensada, ¡con diferencia!, la evolución con escala/energía a partir de un punto fijo es monotónica como él resume, y el acoplamiento o bien disminuye con la energía como en QCD, o bien aumenta con la energía como en QED, o se queda quieto como en el N \=4 super-YM mencionado.