Espacio de simétrica $n$-tensores atravesado por elementos de la forma $\underbrace{v \otimes \ldots \otimes v}_{n}$?

Question

Deje $k$ ser un campo de característica $0$, y deje $V$ ser finito dimensional espacio vectorial sobre $k$. Considerar el espacio de simétrica $n$-tensores, $$S^nV = (V \otimes V \otimes \ldots \otimes V)^{S_n},$$ where $\otimes = \otimes_k$ and the symmetric group $S_n$ acts on the $n$-fold tensor product $$V^{\otimes n} = V \otimes V \otimes \ldots \otimes V$$ by permuting the factors. How do I see that $S^nV$ is spanned by elements of the form $$\underbrace{v \otimes \ldots \otimes v}_{n}, \quad v \in V?$$ he visto algunas de las pruebas en línea, pero que son demasiado breves o largas y no fácilmente comprensible para un principiante como yo. Alguien puede darme una recta hasta el punto de boceto de una prueba que claro?

Answer 1

Puesto que usted tiene pruebas disponibles, tal vez la cosa más útil es para que usted vea el patrón general. Por supuesto, la declaración es trivial para $n = 1$.

Deje $e_1,\dots,e_d$ formulario de una base de $V$, por lo que los vectores de la forma $e_{i_1} \vee \cdots \vee e_{i_n}$ espacio $V$. Para $n = 2$, podemos ver que para $i \neq j$, tenemos $$e_i \vee e_j = (e_i + e_j) \otimes (e_i + e_j) - e_i \otimes e_i - e_j \otimes e_j$$ así que llegamos a cada elemento de ese sistema generador. Del mismo modo, para $n = 3$, tenemos $$e_i \vee e_j \vee e_j + e_i \vee e_i \vee e_j = \\ (e_i + e_j) \otimes (e_i + e_j) \otimes (e_i + e_j) - e_i \otimes e_i \otimes e_i - e_j \otimes e_j \otimes e_j\\ e_i \vee e_j \vee e_j - e_i \vee e_i \vee e_j = \\ (e_i - e_j) \otimes (e_i - e_j) \otimes (e_i - e_j) - e_i \otimes e_i \otimes e_i - e_j \otimes e_j \otimes e_j$$ (nota: los coeficientes pueden variar) En este punto, vemos que tenemos todos los elementos de la forma $u_1 \vee u_2 \vee u_2$ en el tramo.

A partir de ahí, podemos utilizar la idea de $n = 2$: $$e_i \vee e_j \vee e_k = e_i \vee (e_j + e_k) \vee (e_j + e_k) - e_i \vee e_j \vee e_j - e_i \vee e_k \vee e_k$$ Tal vez ahora usted puede ver que el patrón que va a persistir.