Teorema de Stone-Weierstrass en $\mathbb{C}$

Question

Tengo dificultades para entender cómo probar la Teorema de Stone-Weierstrass para funciones de valor complejo definidas en el disco unitario cerrado $\mathbb{D}\subset\mathbb{C}$ .

Aquí hay una versión que tengo de un ejercicio en Lang:

Cualquier función continua de valor complejo definida en el disco unitario cerrado puede ser aproximada uniformemente por polinomios.

Entiendo que esto significa que para cualquier continuo $f:\mathbb{D}\to\mathbb{C}$ existe una secuencia de polinomios $\{f_n\}_{n\in\mathbb{Z}^+}$ tal que para cualquier $\epsilon>0$ , hay $N\in\mathbb{Z}^+$ de modo que para todos $n\geq N, \sup_{z\in\mathbb{D}}|f_n(z)-f(z)|<\epsilon$ .

¿Es esta una interpretación válida? ¿Cuál sería la mejor manera de enfocar esto? Lo ideal sería utilizar las herramientas del análisis complejo elemental, pero cualquier idea podría ser útil. :)

Answer 1

¿Es ésta una interpretación válida?

No, porque el conjunto de polinomios en z no es autoconjugado. Si se tiene una serie de polinomios en z que convergen en la norma suprema en D, la función límite necesita ser holomorfa de nuevo, lo que demuestra que una función continua arbitraria no puede ser aproximada por tales polinomios: Todas las funciones continuas tendrían que ser holomorfas.

Para aplicar el teorema de Stone-Weierstrass, habría que considerar polinomios en z y $\bar z$ . Dejemos que $h(z)$ sea una función continua. Entonces podemos escribir $$ h(z) = f(z) + i g(z) $$ con funciones de valor real f y g. Estas pueden ser aproximadas como funciones de valor real con polinomios $p_f (x, y)$ y $p_g(x, y)$ en $x, y$ por la versión real del teorema de Stone-Weierstrass. Cualquier polinomio en $x, y$ puede transformarse en un polinomio en las variables z y $\bar z$ para que podamos hacer $$ \| h(z) - (p_f(z, \bar z) + i p_g(z, \bar z)) \|_{\sup} $$ arbitrariamente pequeño.

(Esta es la demostración de la versión compleja utilizando la versión real del teorema de Stone-Weierstrass dado por Lang aplicado a esta situación concreta).

Dado que el teorema de Stone-Weierstrass trata esencialmente de funciones continuas y no de holomorfas, dudo que haya algún truco de cálculo complejo que pueda hacer que la demostración general dada por Lang sea más fácil, más corta y más elegante en este caso particular.

Nota: Nos referimos al libro

• Serge Lang: "Análisis real y funcional"