La desigualdad de valores absolutos

Question

¿Cómo se puede mostrar cualquiera de las desigualdades equivalentes:

$$2(|a|+|b|+|c|)\leq |a+b+c|+|a+b-c|+|a-b+c|+|a-b-c|$$

o $$|x+y|+|x+z|+|y+z|\leq |x|+|y|+|z|+|x+y+z|$$ Mantenga pulsado para los números complejos o en $n$ dimensiones ?

Ver http://mathoverflow.net/questions/167685/absolute-value-inequality-for-complex-numbers donde se formula la misma pregunta y los comentarios muestran que es una prueba que debe involucrar producto interior propiedades de $\mathbb{C}$. Además el mathoverflow comentarios de Bill Johnson dar una prueba en gran generalidad utilizando un sofisticado espacio de Banach de las técnicas. La primaria la prueba sin embargo, todavía sería bienvenida.

Antes de esta pregunta fue editado, un número de corregir las pruebas para valores reales se han determinado mediante un análisis de caso de la técnica, la cual, debe ser remarcado, de forma que el caso base para los argumentos en mathoverflow.

Answer 1

Una vez que la desigualdad es demostrado en ${\bf R}$, se sigue en cualquier interior-espacio del producto por escrito cada una de las $|z|$ como un múltiplo de la media de $|u \cdot z|$ más de vectores unitarios $u$. En ${\bf C}$ la fórmula es $$ |z| = \frac14 \int_0^{2\pi} \bigl| {\rm Re} e^{i\theta} z) \bigr| \, d\theta. $$ Aplicando esto a $z=a$, $b$, $c$, y $a \pm b \pm c$ reduce el deseado de la desigualdad para el caso unidimensional. (Abreviada de mi respuesta en mathoverflow.)

Answer 2

Me considero una forma diferente de:

$$|x+y|+|x+z|+|y+z|\leq |x|+|y|+|z|+|x+y+z|$$

Tenga en cuenta que $$\begin{align}|x+y+z| &\leq |x+y| + |z| \leq |x| + |y| + |z|\\&\leq |x+z| + |y| \leq |x| + |y| + |z|\\&\leq |y+z| + |x| \leq |x| + |y| + |z|\end{align}$$

Suma de las desigualdades:

$$3|x+y+z| \leq |x+y|+|x+z|+|y+z| + |x| + |y| + |z| \leq 3|x| + 3|y| + 3|z|$$

Vamos a usar por primera vez: $$3|x+y+z| \leq 3|x| + 3|y| + 3|z| \qquad \qquad\ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$

Y, a continuación, $$|x+y|+|x+z|+|y+z| + |x| + |y| + |z| \leq 3|x| + 3|y| + 3|z| \qquad\ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$$

Ahora voy a probar que:

$$3|x+y|+3|x+z|+3|y+z|\leq 3|x|+3|y|+3|z|+3|x+y+z|$$

El uso de la primera desigualdad $(1)$ nos encontramos con que

$$3|x+y|+3|x+z|+3|y+z|\leq 6|x|+6|y|+6|z|$$

$$|x+y|+|x+z|+|y+z|\leq 2|x|+2|y|+2|z|$$

Agregar $|x| + |y| + |z|$ a ambos lados para encontrar la

$$|x+y|+|x+z|+|y+z| + |x| + |y| + |z| \leq 3|x| + 3|y| + 3|z|$$

Que es verdad por encima de $(2)$.

Answer 3

Caso 1: $x + y + z = 0$, entonces ambos lados de la igualdad y tenemos la igualdad.

Caso 2: $x + y + z \neq 0$, entonces podemos suponer que la $x + y + z = 1$ e las $2$ nd desigualdad es equivalente a: $|1-z| + |1-x| + |1-y| \leq 1 + |x| + |y| + |z|$

en este caso, hay subcases:

a) $x \leq 1, y \leq 1, z \leq 1$: a continuación,$LHS = 1 - x + 1 - y + 1 - z = 3 -(x+y+z) = 3 - 1 = 2 = 1 + 1 = 1 + |x+y+z| \leq 1 + |x| + |y| + |z| = RHS$.

b) $x > 1$, $y \leq 1$, $z \leq 1$:entonces $LHS = 1 - z + x - 1 + 1 - y = x + (1 - y - z) = x + x = 2x = 2|x| = |x| + |1-y-z| \leq 1 + |x| + |y| + |z| = RHS$

c) $x > 1$, $y > 1$, $z \leq 1$:entonces $LHS = x - 1 + y - 1 + 1 - z = x + y - z - 1 \leq |x + y - z - 1| \leq |x| + |y| + |-z| + |-1| = 1+ |x| + |y| + |z| = RHS$

Answer 4

Ambos lados de la desigualdad son invariantes bajo el signo del cambio de $a$, $b$, o $c$. Además, son simétricas con respecto a $a$, $b$, y $c$. Por lo tanto, sin pérdida de generalidad podemos suponer que $0\leq a\leq b\leq c$. A continuación, tenemos que demostrar que $a+b+c\leq \vert a+b-c\vert + \vert a-b+c\vert + \vert -a+b+c\vert$. Esto es trivial si $a$, $b$, y $c$ son los lados de un triángulo (posiblemente degenerado) como los términos dentro de los valores absolutos son todos no negativos. Así que sólo queda probar el caso de que $c>a+b$. En ese caso tenemos que demostrar que $a+b+c \leq c-a-b +a+c-b+b+c-a=3c-a-b$ $\iff a+b \leq c$ que posee.

Respecto a la generalización de una $n$-dimensiones del espacio, una sencilla resultado es que, con $\ell_1$norma de colocación de los valores absolutos en $\mathbb{R}^n$ usted obtiene la misma desigualdad. Puede ser fácilmente demostrado por la suma de las desigualdades correspondientes a cada coordenada.