Circulantes determinantes

Question

Supongamos que $a_1,a_2,\ldots,a_n$ $n$ distintos números reales; es la siguiente afirmación verdadera?

Hay una permutación de $a_1,a_2,\ldots,a_n$, es decir,$b_1,b_2,\ldots,b_n$, de tal manera que el determinante de la siguiente matriz es distinto de cero: $$ \begin{bmatrix} b_1&b_2&\cdots&b_n\\ b_2&b_3&\cdots&b_1\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ b_n&b_1&\cdots&b_{n-1}\\ \end{bmatrix} $$

(Por ejemplo, una matriz se llama un circulantes de la matriz.)

Answer 1

Esta afirmación no es cierta, sin condiciones adicionales en la $a_i$'s. De hecho, supongamos que el $\sum_{k=1}^na_k=0 $, cualquiera que sea su permutación es el vector de la $[1,1,\ldots,1]^T$ está en el núcleo de la circulantes de la matriz de la $b_i$'s, y, en consecuencia, su determinante es $0$.

Answer 2

No, en el caso general. Tome $a_1=-1$$a_2=1$. En cualquier caso, el factor determinante será $0$.