Esta es probablemente una tonta, he leído en la Wikipedia sobre el poder de la ley y de decaimiento exponencial. Yo realmente no veo ninguna diferencia entre ellos. Por ejemplo, si tengo un histograma o una trama que se ve como la de la ley de Potencia artículo, que es el mismo que el de las $e^{-x}$, ¿debería referirse a ella?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
$$ \begin{array}{rl} \text{power law:} & y = x^{(\text{constant})}\\ \text{exponential:} & y = (\text{constant})^x \end{array} $$
Esa es la diferencia.
Como para "en busca de la misma", son bastante diferentes: Ambos son positivos y vaya asintóticamente a $0$, pero con, por ejemplo,$y=(1/2)^x$, el valor de $y$ cortes en la mitad cada vez que $x$ aumenta por $1$, mientras que, con $y = x^{-2}$, observe lo que ocurre como $x$ aumenta de$1\text{ million}$$1\text{ million}+1$. La cantidad por la que $y$ se multiplica es apenas menos de $1$, y si se pone a "mil millones" en lugar de "millones", entonces es aún más cerca de $1$. Con la función exponencial, siempre se multiplica por $1/2$ no importa cómo es grande $x$ recibe.
También, observe que con la distribución de probabilidad exponencial, que tienen la propiedad de memorylessness.
MountainX
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Cómo es una ley de potencia diferente de una exponencial? (Me voy a poner esta respuesta aquí principalmente para mi propia referencia en el futuro. Esperemos que alguien más puede encontrar útil.)
La Ley de potencias de la función
(observe que el exponente k, es una constante)
$$
y = x^k
$$
Función exponencial
(observe que el exponente es una variable)
$$
y = a^x
$$
Technical definition of Power Law:
A power law is any polynomial relationship that exhibits the property of scale invariance.
Scale invariance (from Wikipedia)
One attribute of power laws is their scale invariance. Given a relation f(x) = ax^k, scaling the argument x by a constant factor c causes only a proportionate scaling of the function itself. That is,
$$ f(c x) = (c x)^k = c^k f(x) \propto f(x) $$
Es decir, escalar por una constante c simplemente multiplica el original de ley de potencia de la relación de la constante c^k.
Por lo tanto, se deduce que todas las leyes de energía con una determinada exponente de escala son equivalentes a factores constantes, ya que cada uno es, simplemente, una versión a escala de los demás. Este comportamiento es lo que produce la relación lineal cuando se toman logaritmos de ambos f(x) y x, y la recta de la línea en el log-log de la parcela es a menudo llamada la firma de una ley de potencia.
Austin Mohr
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Si usted tiene un conjunto limitado de datos, una manera de saber la diferencia es que para poner los datos en una hoja de software capaz de exponenciales y regresiones y ver que da el mejor coeficiente de correlación. Es de suponer que el coeficiente se calcula mediante la comparación de los mínimos cuadrados de los errores de la semi-log y log-log parcelas. Un poco más sobre esto...
Vamos a llamar a una ley exponencial uno como $y = Ca^x$ y una función de potencia como $y = Cx^p$. Si tomamos el logaritmo de ambos lados de una función exponencial, obtenemos $$ \log y = \log C + x \log. $$ Es decir, la colección de pares ordenados $(x, \log y)$ (el semi-log plot) debe ser aproximadamente lineal para exponencial de datos.
Por otro lado, para una función de potencia obtenemos $$ \log y = \log C + p \log x, $$ así que la colección de pares ordenados $(\log x, \log y)$ (log-log de la parcela) debe ser aproximadamente lineal para la alimentación de la ley de datos.
La determinación de cuál de estas dos parcelas es la línea más-como puedes saber si exponencial de la energía o de las leyes mejor modelo de los datos originales.
Robert Mastragostino
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muy diferentes. Un poder de la ley sólo dice que una variable es un poder de los otros. Por ejemplo, en la física
$$y=3x^2$$
es una ley de potencia entre el $y$ $x$ donde el poder es $2$ (el coeficiente no importa).
$$y=x^2+x$$
no es. Debe ser un término de la forma $cx^n$.
Decaimiento exponencial, por otro lado, es una idea similar, pero formado en torno a $Ce^{-kt}$ en lugar de ello, para algunas constantes $c$$k$.
La imagen en la página de la wikipedia sobre la ley de potencia es probablemente algo parecido a $\frac 1 x$, no un decaimiento exponencial de la curva.
