Los instrumentos derivados que no son Riemann integrables

Question

Deje $f:\;[a,b]\to\mathbb{R}$ ser diferenciable en a $[a,b]$. No es un misterio que $f'$ no necesita ser Riemann integrable. En realidad, incluso si requerimos $f'$ a estar acotada la implicación es todavía falso. Este me había preguntado:

¿Cuál es el más débil condición en $f$ que garantiza una Riemann integrable derivados?

Answer 1

Una función en [a,b] es Riemann integrable si y sólo si es acotada y continua en casi todas partes. (Ver Wikipedia.) Esto significa que una función derivable $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ tiene un Riemann integrable derivados si y sólo si $f'$ es acotada y continua en casi todas partes.

Incluso podemos reformular esta para evitar la mención del $f'$ directamente: una función derivable $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ tiene un Riemann integrable derivados si y sólo si $f$ es Lipschitz continua (equivalente a $f'$ siendo limitada dado que ya hemos asumido la diferenciabilidad) y "casi en todas partes $C^1$".