Producto de la copa en el toro

Question

Quiero calcular el producto de la copa en el toro (véase el libro de Hatcher)

Si $\pi_1(T^2) = ([a]) + ([b])$ entonces por el teorema del coeficiente universal tenemos

un cociclo $\alpha$ (resp. $\beta$ ) que tienen un valor $1$ sólo en un bucle $a$ (resp. $b$ ).

Dejemos que $\sigma$ es un $2$ ciclo con $([\sigma])=H_2(T^2)$ para que $\partial \sigma = a+ b - a-b$ . Aquí en $\Delta$ -notación compleja, $\sigma$ es un cuadrado con cuatro aristas $a$ , $b$ , $-a$ , $-b$

Por lo tanto, $$\alpha \cup \beta (\sigma) = \alpha (a) \beta (b-a-b) = 1\cdot 0 =0 $$

Pero por otro lado, $$0\neq \alpha \cup \beta (\sigma) = \alpha (a+b) \beta (-a-b) = 1\cdot (-1) = \beta (a+b) \alpha (-a-b) = \beta\cup \alpha (\sigma)$$ para que $$ \alpha \cup \beta (\sigma) \neq - \beta\cup \alpha (\sigma)$$

¿Qué es lo que falla? Este cálculo se basa en la definición de producto de copa :
$$ \phi\cup\psi (\sigma ) = \phi( \sigma|_{[v_0, .... , v_k]})\psi (\sigma|_{[v_k, ... , v_{k+l}]} ) $$ . Así que en $T^2$ , tomando $\sigma|_{[v_0v_1]} = a$ y $\sigma|_{[v_1v_2]} = b-a-b$ o $\sigma|_{[v_0v_1]} = a+b$ y $\sigma|_{[v_1v_2]} = -a-b$ tenemos el cálculo anterior.

Por favor, denme algún consejo o corrección. Gracias de antemano.

Answer 1

Cuando escriba $\alpha \cup \beta (\sigma) = \alpha (a+b) \beta (-a-b)$ Creo que puede estar confundido sobre cómo actúa el producto de la copa en las cadenas singulares. La regla "cara anterior cara posterior" se aplica a cada término de la suma formal por separado y luego se suman estos productos después . Es decir

$\alpha \cup \beta (\Sigma _i c_i \sigma _i ) = \Sigma _i c_i \alpha (\sigma _i|_{[v_0,v_1]} )\beta (\sigma _i|_{[v_1,v_2]})$

no

$\alpha (\Sigma _i c_i \sigma _i|_{[v_0,v_1]})\beta (\Sigma _i c_i \sigma _i|_{[v_1,v_2]})$

Answer 2

Consulte la siguiente página:

http://math.ucsd.edu/~bewilson/qualprep/TorusCupProductCalculation.pdf

Considere un cuadrado $ABCD$ que es la unión del triángulo $ABC$ y el triángulo $ACD$ .

Aquí, contiene 5 aristas y representa $T^2$ .

Dejemos que $\alpha $ (resp. $\beta$ ) sea un $1$ -cocos que valen 1 sólo en $AB$ , $DC$ , $AC$ (resp. $BC$ , $AD$ , $AC$ ).

Entonces $$ \alpha \cup \beta ( ABCD) = \alpha \cup \beta (ABC + ACD) = \alpha (AB)\beta (BC) + \alpha (AC)\beta(CD) = 1 +0 =1$$

Y $$ \beta \cup \alpha ( ABCD) = \beta \cup \alpha (ABC + ACD) = \beta (AB)\alpha (BC) + \beta (AC)\alpha(CD) = 0 + 1(-1) =-1$$