Pregunta sobre Las Dimensiones

Question

$\require{AMScd}$Tengo una pregunta con respecto a una reclamación en Un primer curso de álgebra homológica por Northcott. Creo que es muy fácil, ya que el autor no proporcionan una prueba, y solo tipo de reclamo. Está en la página 76. Y dice:

Deje $0 \to A_1 \to P \to A \to 0$ es exacta, y $P$ es proyectivo, entonces $\mbox{Pd}(A) = \mbox{Pd}(A_1) + 1$, siempre que $\mbox{Pd}(A) > 0$.

Donde $\mbox{Pd}(A)$ denota la dimensión proyectiva de $A$, yo.e si $A$ tiene una resolución proyectiva $0 \to P_n \to P_{n-1} \to... \to P_1 \to P_0 \to A \to 0$, donde todos los $P_i$'s son proyectivos, y no hay la menor resolución. A continuación, escribiremos $\mbox{Pd}(A) = n$.

Pregunta

Ok, así que ¿cómo puedo demostrarlo?

Puedo llegar al punto de que $\mbox{Pd}(A) \le \mbox{Pd}(A_1) + 1$, asumiendo que el $\mbox{Pd}(A_1) = n$, yo.e existe una resolución proyectiva de $A_1$, que se parece a esto: $0 \to P_n \to P_{n-1} \to... \to P_1 \to P_0 \to A_1 \to 0$, ya que el $P_0 \to A_1$ es épico, y $A_1 \to P$ es monic, puedo combinar el 2 de asignaciones, y llega la siguiente resolución: $0 \to P_n \to P_{n-1} \to... \to P_1 \to P_0 \to P \to A \to 0$, lo que significa que $\mbox{Pd}(A) \le n+1$.

Pero no puedo demostrar que $\mbox{Pd}(A) = n+1$. He aquí cómo puedo empezar, supongamos que el $A$ tiene una resolución: $0 \to P_n \to P_{n-1} \to... \to P_1 \to P_0 \to A \to 0$, y voy a tratar de construir una resolución para $A'$ que carece de $P_0$, yo.e, lo que estoy tratando de demostrar es que, si $\mbox{Pd}(A) < n+1$, $\mbox{Pd}(A_1) < n$ (que es, por supuesto, no es correcto, puesto que suponemos $\mbox{Pd}(A_1) = n$). Así que aquí es cómo va:

$\begin{CD}@. @. @. 0 @>>> A_1 @>\chi>> P @>\sigma>> A @>>> 0\\ @. @. @. @. @. @. @| \\ 0 @>>> P_n @>\chi_n>> P_{n-1} @>\chi_{n-1}>> ... @>\chi_2>> P_1 @>\chi_1>> P_0 @>\chi_0>> A @>0>> 0 \\ \end{CD}$

Desde $\sigma$ es épico, y $P_0$ es proyectiva, por lo tanto, no existe: $\gamma_0: P_0 \to P$, de tal manera que el cuadrado de viajes:

$\begin{CD}@. @. @. 0 @>>> A_1 @>\chi>> P @>\sigma>> A @>>> 0\\ @. @. @. @. @. @A\gamma_0AA @| \\ 0 @>>> P_n @>\chi_n>> P_{n-1} @>\chi_{n-1}>> ... @>\chi_2>> P_1 @>\chi_1>> P_0 @>\chi_0>> A @>0>> 0 \\ \end{CD}$

Desde $\sigma (\gamma_0 \chi_1) = 0$, y el primero de la fila es exacta, por lo tanto, no existe $\gamma_1: P_1 \to A$, de tal manera que el cuadrado de desplazamientos.

$\begin{CD}@. @. @. 0 @>>> A_1 @>\chi>> P @>\sigma>> A @>>> 0\\ @. @. @. @. @A\gamma_1AA @A\gamma_0AA @| \\ 0 @>>> P_n @>\chi_n>> P_{n-1} @>\chi_{n-1}>> ... @>\chi_2>> P_1 @>\chi_1>> P_0 @>\chi_0>> A @>0>> 0 \\ \end{CD}$

Un problema que queda es que el $\gamma_1$ no es épica, por tanto, no puedo tener la resolución: $0 \to P_n \to ... \to P_1 \to A_1 \to 0$.

Puede mi prueba de ser mejorado, o debería abordar en un completo modo diferente?

Muchas gracias a uds por adelantado,

Y tener un buen día,

Editar

Todavía no veo cómo podemos hacer uso de Schanuel del lema para hacer frente a este problema, ok, así que asumo $\mbox{Pd}(A) < n + 1$, yo.e, voy a tener la resolución de $\begin{CD} @. @. @. @. @. 0 \\ @. @. @. @. @. @VVV \\ 0 @>>> P_n @>>> P_{n - 1} @>>> ... @>>> P_0 @>>> A_1 @>>> 0 \\ @. @. @. @. @. @VVV \\ @. @. @. @. @. P \\ @. @. @. @. @. @VVV \\ 0 @>>> Q_n @>>> Q_{n - 1} @>>> ... @>>> Q_0 @>>> A @>>> 0 \\ @. @. @. @. @. @VVV \\ @. @. @. @. @. 0 \end{CD}$

¿Cómo puedo aplicar Schanuel del lema a encontrar una solución para $A_1$ que tiene una longitud de no más de $n - 1$?

Answer 1

Dada una resolución mínima $Q^\bullet$$A_1$, marcado en $P \rightarrow A$ da una resolución de $A$, lo $\dim A_1 + 1 \geqslant \dim A$.

A ver que $\dim A_1 + 1 \leqslant \dim A$, compare $Q^\bullet$, con una resolución mínima: $$0 \rightarrow P_{\dim A} \rightarrow \ldots P_1 \rightarrow P_0 \rightarrow A \rightarrow 0$$$$0 \rightarrow \ker Q_{\dim a - 2} \rightarrow \ldots Q_0 \rightarrow P \rightarrow \rightarrow 0$$By the Generalized Schanuel's lemma, we know that $\ker Q_{\dim a - 2}$ is projective, so $0 \rightarrow \ker Q_{\dim a - 2} \rightarrow \ldots Q_0 \rightarrow A_1 \rightarrow 0$ is a resolution of $A_1$ of length $\dim a - 1$, como se desee.