Demostrar la igualdad en la desigualdad de triángulo de números complejos

Question

Tenemos que mostrar que $$ |z_{1}+z_{2}+\cdots+z_{n}|=|z_{1}|+|z_{2}|+\cdots+|z_{n}|$$ si y sólo si $z_{1},z_{2},\dots,z_{n}$ tiene el mismo argumento (es decir,$z_{j}=r_{j}e^{i\theta}$$j=1,\dots,n$).

De esta manera [$\Longleftarrow$] es fácil, pero para la otra manera alrededor, me quedo pegado la prueba de la suma de dos números complejos, aunque la inducción en sí no es gran problema.

¿Alguien conoce cómo probar esto por dos números complejos?

Answer 1

Deje $z_1=a_1+ib_1$$z_2=a_2+ib_2$$a_1,a_2,b_1,b_2\in\mathbb{R}$. Por simplificación de la ecuación $$\sqrt{(a_1+a_2)^2+(b_1+b_2)^2}=\sqrt{a_1^2+b_1^2}+\sqrt{a_2^2+b_2^2},$$ you will get $$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}.$$ ¿Qué decir acerca de los argumentos?

Answer 2

Supongamos $z_1,z_2\ne0$ (de lo contrario, es trivial). Entonces $$\begin{align}|z_1+z_2|^2 &= (z_1+z_2)\overline{(z_1+z_2)}\\ &= (z_1+z_2)\left(\overline{z_1}+\overline{z_2}\right)\\ &= z_1\overline{z_1}+z_1\overline{z_2}+\overline{z_1}z_2+z_2\overline{z_2}\\ &= |z_1|^2+z_1\overline{z_2}+\overline{z_1\overline{z_2}}+|z_2|^2\\ &=|z_1|^2+2\Re(z_1\overline{z_2})+|z_2|^2\\ &= \bigl(|z_1|+|z_2|\bigr)^2+2\Re(z_1\overline{z_2})-2|z_1||z_2|.\end{align}$$ Thus, you must show that $\Re(z_1\overline{z_2})=|z_1||z_2|$ if and only if $z_1,z_2$ tienen el mismo argumento.

Answer 3

Vamos a tratar de resolver la ecuación

$$ |a+b|=|a|+|b| $$

para $a,b\in\mathbb{C}$. No es restrictivo suponer que tanto $a$ $b$ son no-cero. Podemos plaza, debido a que ambos lados son no-negativos:

$$ |a+b|^2=(|a|+|b|)^2 $$

así, teniendo en cuenta que el $|z|^2=z\bar{z}$, obtenemos

$$ (a+b)(\bar{a}+\bar{b})=\bar{a}+2|a|\,|b|a+b\bar{b} $$

que simplifica en

$$ \bar{a}b+a\bar{b}=2|a|\,|b| $$

Ahora, escriba $a=|a|u$$b=|b|v$; la ecuación se convierte en

$$ \bar{u}v+u\bar{v}=2 $$

Recordemos ahora que $\bar{u}=u^{-1}$, puesto que, por hipótesis de $|u|=1$. Entonces ...