La sección transversal es un hexágono regular. ¿Es un cubo?

Question

Una de las secciones transversales de una caja rectangular es un hexágono regular.Demuestra que la caja es un cubo

Intenté demostrar que ciertas longitudes eran iguales demostrando que ciertos triángulos son congruentes pero no sirvió de nada.

Answer 1

Como las líneas de las caras opuestas son paralelas, y cada diagonal tiene la misma longitud, tenemos $b^2+c^2 = d^2+e^2 = f^2+a^2$ .

Para que el hexágono esté en un plano, necesitamos $det \begin{pmatrix}b&0&-a\\c&d&0\\0&e&f\end{pmatrix} = 0$ , por lo que $bdf = ace$

Por último, necesitamos que los ángulos del hexágono sean iguales, así que mirando los productos escalares, se obtiene $cd=ef=ab$ . Esto hace que $5$ ecuaciones. Por lo tanto, demostrar $a=b=c=d=e=f$ podría ser posible desde allí :

$(b-a)((a+b)bd+abc) = bd(b^2-a^2)+(ab)bc-(ab)ac = bd(b^2-a^2)+(cd)bc-(ef)ac \\= bd(b^2+c^2-a^2) - (ace)f = bdf^2 - bdf^2 = 0$

Desde $(a+b)bd+abc > 0$ obtenemos $a=b$ .

De la misma manera, $c=d$ y $e=f$ y $cd = ef = ab$ se convierte en $c^2 = e^2 = a^2$ Por lo tanto $a=b=c=d=e=f$

Answer 2

Dado $a$ , $b$ y $c$ longitudes de bloque (caja rectangular) y $u$ longitud del borde del hexágono. Ahora insertamos una línea $u$ en un rectángulo de manera que el lado $a$ se dividirá en secciones $x_a$ y $a-x_a$ y el lado $b$ se dividirá a $x_b$ y $b-x_b$ . Dentro de este rectángulo hay un triángulo para el que el $x_a^2+x_b^2 = u^2$ (ver imagen)
para el rectángulo $a\cdot c$ análogamente $x_a^2+x_c^2=u^2$ y para el rectángulo $a\cdot c$ obtenemos $x_a^2+x_c^2=u^2$ .
Ahora
$x_a^2+x_c^2 = u^2 = x_b^2+x_c^2 \implies x_a=x_b$ ,
$x_a^2+x_b^2 = u^2 = x_b^2+x_c^2 \implies x_a=x_c$ .
( $x_a^2+x_b^2 = u^2 = x_a^2+x_c^2 \implies x_b=x_c$ es redundante).
Todas estas igualdades son válidas para cada uno de los lados y su lado opuesto, es decir para $a\cdot b$ y también para el lado opuesto $a\cdot b$ . Y por lo tanto, $x_a = a-x_a \implies x_a = \frac{a}{2}$ , $x_b = b-x_b \implies x_b = \frac{b}{2}$ y $x_a = a-x_a$ , $x_c = c-x_c \implies x_c = \frac{c}{2}$ .

Y de estas y anteriores igualdades se desprende $x_a = x_b = x_c$ y también $a = b = c \equiv v$ Por lo tanto, ese hexágono sólo puede introducirse en el cubo.
Si la longitud de la arista del hexágono regular es igual a $u$ la longitud de la arista $v$ de este cubo se $v = 2 \sqrt u$ .