La intuición y la derivación de la media geométrica

Question

He corrido a través de un montón de búsquedas, especialmente aquí en ASÍ, pero yo simplemente no podía encontrar algo que responde a una pregunta que ha estado en mi mente últimamente. ¿Cómo fue la media geométrica de la derivada? ¿Qué es la intuición detrás de él. La mayoría de simplemente utilizar la última ecuación como una justificación para su existencia.

El $n$-ésima raíz de que el producto de todos los elementos de la ecuación, en realidad, no le hacen justicia.

Podría alguien explicar como y por qué es interesante?

Answer 1

Aquí está una de las motivaciones para la media geométrica: tomando el logaritmo de ambos lados de la media geométrica definición, usted encontrará que el logaritmo de la media geométrica es la media de los logaritmos de los valores:

\begin{align*} G &= \left(\prod_{i=1}^{n}a_{i}\right)^\frac{1}{n} \\ \Rightarrow \log{G} &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\log{a_{i}} \end{align*}

Cuando los rangos numéricos de los valores son demasiado grandes, puede que desee utilizar los logaritmos de los valores, y por lo tanto la media geométrica.

Por ejemplo, digamos que usted está estudiando un valor que crece exponencialmente con el tiempo (como el de la población humana, el interés compuesto, etc). La media geométrica tiene más sentido en el estudio de este valor, como se ilustra en este ejemplo en la Wikipedia.

Como de por qué la media geométrica funciona mejor para los valores que crecen de manera exponencial: Cuando un valor crece exponencialmente, su logaritmo crece linealmente. Por lo tanto, la aproximación lineal a través de la media geométrica de las obras, ya que se basa en los logaritmos de los valores.

Answer 2

Esencialmente, la media aritmética es el promedio de acuerdo a la suma, y la media geométrica es la media de acuerdo a la multiplicación. Lo que quiero decir con esto es que, si tenemos algunos números de $a_1,a_2,\ldots,a_n$ y estamos interesados sólo en adición, entonces podríamos buscar para encontrar algún número $\mu$ tal que $$a_1+a_2+\ldots+a_n=\underbrace{\mu+\mu+\ldots+\mu}_{\text{$n$ times}}$$ es decir, si reemplazamos cada $a_i$$\mu$, se obtendría la misma respuesta cuando nos resumió todo de ellos. Imaginar esto, considere si hemos tenido un montón de vasos de agua. La transferencia de agua de uno a otro no cambia la suma total - así que si $a_i$ fueron la cantidad de agua en cada vaso para empezar, $\mu$ sería la cantidad en cada vaso fueron las cantidades transferidas a ser igual. Aviso de la ecuación anterior se puede reorganizar para $$\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}=\mu$$ cual es la definición estándar.

La media geométrica es el mismo, excepto que el uso de la multiplicación en lugar de la adición. Por lo tanto, queremos resolver $$a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_n=\underbrace{\mu\cdot\mu\cdot\ldots\cdot \mu}_{\text{$n$ times}}$$ de donde obtenemos que el producto de cada elemento se conserva cuando sustituimos todos los elementos con $\mu$. Esto podría ser imaginado como si hubiera prisma rectangular en $n$ dimensiones (eso es fácil imaginar a la derecha? Simplemente deje $n$ no-muy-grande), entonces el producto de todas sus longitudes de los lados $a_i$ sería su volumen. Por otra parte, si se extendía una dimensión por un factor de $c$, mientras que la compresión de otra por el mismo factor, el volumen sería preservada - por lo que la media geométrica $\mu$ sería el sidelength de la hipercubo con el mismo volumen. La fórmula anterior, por supuesto, que se simplifica a $$\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_n}=\mu.$$

Una buena nota para agregar a esta respuesta es que una media ponderada con los pesos $w_i$ sólo puede ser interpretado como la solución a $$w_1a_1+w_2a_2+\ldots+w_na_n=w_1\mu+w_2\mu+\ldots+w_n\mu$$ donde, de nuevo, nos vuelva a colocar todos los $a_i$$\mu$. Supongo que esto se generaliza para crear un "promedio" con respecto a cualquier $f$ cuando el promedio satisface $f(a_1,a_2,\ldots\,a_n)=f(\mu,\mu,\ldots,\mu)$ - donde la "media aritmética" es donde $f$ es la suma y la "media geométrica" es donde $f$ es el producto de la misma como la diferencia entre la "aritmética" y "geométrica" progresión) y "promedio ponderado" es una suma ponderada, y así sucesivamente.

Answer 3

Una importante motivación para la media geométrica es secuencial porcentaje aumenta.

Si usted tiene una secuencia de incrementos porcentuales, y se desea saber el promedio de porcentaje de incremento en el período, usted debe utilizar la media geométrica.

La media aritmética (o de otras formas de promedio) no se corte.

Así que, esto tiene importantes aplicaciones en matemáticas financieras.

Si la media del porcentaje de incremento es $\bar{p}$% por año, entonces podemos esperar una cantidad a aumentar por un factor de $(1+\bar{p}/100)$ por año.

Así, el incremento total debería ser $(1+\bar{p}/100)^n$, si queremos que el promedio de tener sentido.

Si sabemos que el individuo aumenta la se $p_1, p_2, ... p_n$, el incremento total será de $(1+p_1/100)(1+p_2/100)...(1+p_n/100)$

Así, la motivación para la n-ésima raíz debe ser clara si tenemos el individuo aumenta, podemos acceder a el incremento total, y, a continuación, tendremos que tomar la n-ésima raíz de calcular correctamente el promedio de aumento.

Answer 4

Para ampliar Domagoj Pandža la gran respuesta, la "distancia" de la función de la media geométrica es:

$$ d(n) = \sum_i \left( \ln x_i - \ln n \right)^2. $$

La media geométrica $n = \prod_i x_i^{1/k}$ puede ser derivada como la función que minimiza el valor de esta función de distancia.

Prueba

Ampliar:

$$ d(n) = \sum_i (\ln x_i)^2 - 2 \ln n \sum_i \ln x_i + k (\ln n)^2 $$

Diferenciar con respecto a $n$:

$$ \frac{d}{dn}d(n) = -\frac{2}{n} \sum_i \ln x_i + \frac{2k}{n} \ln n $$

Solucionar $d d(n) / dn = 0$:

$$ \frac{2k}{n} \ln n = \frac{2}{n} \sum_i \ln x_i\\ k \ln n = \sum_i \ln x_i \\ \ln n = \frac{1}{k} \sum_i \ln x_i \\ n = \exp \frac{1}{k} \sum_i \ln x_i \\ $$

La última línea es la media geométrica, se expresa en la forma de registro.

La forma de registro de la media geométrica de la

La media geométrica es:

$$ n = \prod_i x_i^{1/k}, $$

lo que implica que:

$$ \ln n = \ln \prod_i x_i^{1/k} \\ = \frac{1}{k} \sum \ln x_i. \\ $$

Así, la media geométrica también puede ser escrito como:

$$ n = \exp \frac{1}{k} \sum \ln x_i. $$