Que yo sepa, no hay ninguna manera general para evaluar los derivados de funciones hipergeométricas con respecto a sus parámetros en una forma cerrada, pero para algunos casos particulares puede ser posible. Estoy interesado en este caso: $$\mathcal{D}=\frac{d}{d\beta}\,{_2F_1}\left(\frac13,\,\beta;\,\frac43;\,\frac89\right)\Bigg|_{\beta=\frac56}\tag1$$ Podría usted sugerir cómo evaluar $\mathcal{D}$ en forma cerrada, si es posible?
Respuesta
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El uso de Euler-tipo de representación de enteros de Gauss de la función: $$ {}_2F_1(a,b; c; z) = \frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b) \Gamma(c-b)} \int_0^1 u^{b-1} (1-u)^{c-b-1} (1-z u)^{-a} \mathrm{d}u $$ para$c = \tfrac{4}{3}$$b=\tfrac{1}{3}$, diferenciando con respecto a $a$$a=\tfrac{5}{6}$: $$ \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}} {} _2F_1(a,\tfrac{1}{3}; \tfrac{4}{3}; \tfrac{8}{9}) \right|_{a =\tfrac{5}{6}} = -\frac{1}{3} \int_0^1 \frac{\log\left(1- \tfrac{8}{9} u\right)}{\left(1- \tfrac{8}{9} u\right)^{5/6} u^{2/3}} \mathrm{d}u \etiqueta{1} $$ La integral se puede evaluar mediante Mellin técnicas de convolución de dos funciones de $G_1(u) = \log\left(1- \tfrac{8}{9} u\right) \mathbf{1}_{0<u<1}$, e $G_2(u) = \left(1- \tfrac{8}{9} u\right)^{-5/6} \mathbf{1}_{0<u<1}$.
Pidiendo Mathematica para evaluar la integral de la $(1)$ la respuesta viene en forma cerrada:
9 3^(1/6) Gamma[7/6] Gamma[4/3] (Pi + Sqrt[3] Log[3])/(2 Sqrt[Pi]) -
2 3^(1/3) (3 HypergeometricPFQ[{1/6, 1/6, 2/3}, {7/6, 7/6}, 1/9] +
Hypergeometric2F1[1/6, 2/3, 7/6, 1/9] Log[3])
