¿Cómo puedo interpretar intuitivamente este vector de la operación?

Question

En la lectura a través de algunos de muy antiguo código fuente que he heredado y llegó a través de tres dimensiones Euclidianas vector de operación que me parece que no puede obtener una intuición. Transcribir el código del programa en las matemáticas, la operación (que tiene tres entradas, vectores $a$, $b$, y $c$) es la siguiente:

$$ a - \frac{a \cdot b}{b \cdot c}c $$

El comentario junto con el código fuente, se anuncia que la función "projects a vector into a plane along a third vector" y que el resultado es "vector a projected into the plane defined by b along c".

Mi intuición geométrica es un poco oxidado, pero he sido incapaz de integrar cualquier combinación de los vectores y el plano de las proyecciones que llevaría a la expresión anterior. Los comentarios son un poco ambiguo y puede ser interpretada de múltiples maneras, así que supongo que no estoy mirando de la manera correcta. Podría alguien explicar como este tipo de operación puede ser descrito cualitativamente?

Answer 1

observe que la expresión de su vectoriales no dependen de las magnitudes de las $\vec b$ o $\vec c$ . Puede ser escrito en términos de vectores unitarios.

$$ \vec v = \vec a - \frac{\vec a \cdot \hat b}{\hat b \cdot \hat c}\hat c $$

imagina que $\hat b$ define el vector normal a la tierra
y $\hat c$ define la dirección de los rayos del sol ,
a continuación, $\vec v$ será exactamente el vector que describe la sombra proyectada en el suelo por el vector $\vec a$

Answer 2

Si usted toma el producto escalar con $b$ obtendrá cero, por lo que el vector construido aquí es perpendicular a $b$, por lo que se encuentra en un plano perpendicular a $b$ (definido por $b$)

Se puede obtener el vector mediante la toma de $a$ y el ajuste por un múltiplo de $c$, lo que podría ser lo que se entiende por proyección sobre el vector $c$.

Answer 3

El vector es co-planar con $\underline {a}$ $\underline {c}$ y es perpendicular a $\underline {b}$

Answer 4

Usted puede resolver por la fórmula dada la descripción.

La proyección en el plano perpendicular a $b$ significa que usted tiene

$$v \cdot b = 0$$

Que estamos proyectando $a$ en la dirección dada por $c$ significa que usted tiene

$$ v = a + t c $$

para algunos escalares $t$.

Para hacer de ellos verdaderos (por lo que estamos proyectando al plano definido por $b$), resolver el sistema de ecuaciones. Enchufar la última en la antigua da

$$ a \cdot b + t (c \cdot b) = 0 $$

y así

$$t = -\frac{a \cdot b}{c \cdot b}$$