Mostrando un cardenal es regular

Question

He estado pensando acerca de esta cuestión, pero fue en vano y me tengo que preguntar.

Cómo mostrar que para $\kappa\geq\aleph_0,$ $\mu=\min\{\lambda: \kappa^{\lambda} > \kappa\}$ es regular?

Si yo quería una contradicción, sería suficiente para demostrar $\kappa^{cf(\mu)}>\kappa$, pero no veo cómo esto podría ser cierto.

Answer 1

Deje $\kappa$ ser infinito y $\mu=\min\{\lambda\mid \kappa^\lambda>\kappa\}$ (este cardenal existe, desde ya $\kappa^\kappa>\kappa$). Si $\mu$ es singular, escribir $\mu=\sum_{\alpha<\theta}\mu_\alpha$ donde $\theta={\rm cf}(\mu)<\mu$ e las $\mu_\alpha$ forma estrictamente creciente secuencia regular de los cardenales. Tenemos $$ \kappa^\mu=\kappa^{\sum_\alpha \mu_\alpha}=\prod_\alpha \kappa^{\mu_\alpha}. $$ Ahora, por definición de $\mu$, $\kappa^{\mu_\alpha}=\kappa$ para todos los $\alpha$, por lo que el producto anterior se reduce a $\prod_\alpha\kappa=\kappa^\theta$. De nuevo, desde el $\theta<\mu$,$\kappa^\theta=\kappa$, y hemos terminado.

La clave de la igualdad es, por supuesto,$\kappa^{\sum_\alpha \mu_\alpha}=\prod_\alpha \kappa^{\mu_\alpha}$, lo cual es demostrado directamente: La suma de $\sum_\alpha\mu_\alpha$ es la cardinalidad de la inconexión de la unión de $\bigcup_\alpha \mu_\alpha\times\{\alpha\}$, y podemos identificar cualquier función de $\phi$ a partir de esta unión a $\kappa$ con la secuencia de funciones de $(\phi_\alpha\mid \alpha<\theta)$$\phi_\alpha=\phi\upharpoonright \mu_\alpha\times\{\alpha\}$. Esto es en realidad un bijection entre el ${}^{\bigcup_\alpha \mu_\alpha\times\{\alpha\}}\kappa$ y el producto Cartesiano $\prod_\alpha {}^{\mu_\alpha\times\{\alpha\}}\kappa$.