El determinante de la matriz de con $a_{i,j} = (i+j)^2$

Question

El determinante de la matriz de con $ a_{i,j} = (i+j)^2 $

Yo estaba tratando de resolver, pero es imposible

Answer 1

Cuando la matriz es lo suficientemente grande se hace más fácil.

\begin{bmatrix} 2^2&3^2\cdots &(n+1)^2\\ \vdots & \ddots &\vdots\\ (n+1)^2&&(2n)^2\end{bmatrix}

Ahora vamos a hacer algunas fila opperations. Restar la fila de arriba de cada fila. Salir de la fila superior como es

\begin{bmatrix} 2^2&3^2\cdots &(n+1)^2\\ 5&7&\cdots 2n+3\\ \vdots & \ddots &\vdots\\ 2n+1&&4n-1\end{bmatrix}

y hacerlo de nuevo

\begin{bmatrix} 2^2&3^2\cdots &(n+1)^2\\ 1&-2\cdots &2-n^2\\ 2&2\cdots& 2\\ \vdots & \ddots &\vdots\\ 2&&2\end{bmatrix}

Un singular de la matriz de al $n\ge 4$

Answer 2

voy a mirar en el caso de $3 \times 3$ determinante
$f_3(x) = det \pmatrix{x^2 y(x+1)^2 y(x+2)^2\cr 3^2 & 4^2 & 5^2\cr 4^2 & 5^2 & 6^2}$

claramente $f$ es un quadrtaic en $x$ y se desvanece en $x = 3$ y a las $x = 4.$ por lo tanto $f_3(x) = k(x-3)(x-4).$ ahora puede evaluar $k$ mediante el establecimiento de un valor muy conveniente para $x,$ $x = -1.$

utilizando la misma idea, podemos mostrar que, para $n > 3, f_n = 0.$ esto se deduce del hecho de que $f_n(x)$ es de segundo grado en $x$ y $f_n(3)=0, f_n(4)=0, f_n(5)= 0. \ldots.$

Answer 3

Otra manera de mostrar que la matriz es singular por $n\ge 4$:

$$ A {\bf b} = 0 \iff \sum_{j} b_j (i+j)^2=0 \, (\forall i)$$

Equivalentemente,

$$ \sum b_j j^2 + 2 i \sum b_j j+ n i^2 \sum b_j=0 $$

Siempre podemos encontrar un no trivial solución mediante el establecimiento $ \sum b_j j^2 =\sum b_j j= \sum b_j=0$, esto corresponde a

$$ C{\bf b} =0$$ with $$C=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 &\cdots &1 \\ 1 & 2 & 3 &\cdots &n \\ 1 & 4 & 9 &\cdots &n^2 \\ \end{pmatrix}$$

Mientras $n\ge 4$, $C$ no es de rango completo, por lo tanto, no tiene una solución trivial, por lo tanto $A$ es singular y $det(A)=0$.

Las generalizaciones son sencillas. Por ejemplo, si hemos tenido,digamos, $a_{i,j}=(5 i-4j)^3$ podemos deducir que el determinante es cero para $n\ge 5$