$R[[x]]$ para un Noetherian anillo de $R$?

Question

Deje $R$ ser un Noetherian anillo. ¿Cómo se puede probar que el anillo del poder formal de la serie de $R[[x]]$ es de nuevo un Noetherian anillo?

Es bien sabido que el anillo de polinomios $R[x]$ es Noetherian. Puedo tratar de imitar el estándar de la prueba de la realidad mediante la sustitución de "líder de los coeficientes" por "la más baja de los coeficientes", pero no funciona.

Answer 1

Paso 1: Vamos a $f\in R[[x]]$ tales que el coeficiente de $f$ es una unidad. A continuación, $f$ es una unidad. Es un ejercicio fácil para la construcción de $f^{-1}$ término por término.

Paso 2: Mostrar que si $I$ es un ideal, el conjunto de menor distinto de cero en términos de los elementos de $I$ es un ideal de a $R$.

Paso 3: Considerar la posibilidad de un ascendente de la cadena de ideales. $I_1\subset I_2\subset\ldots$, y deje $J_1\subset J_2\subset\ldots$ la correspondiente cadena de ideales en $R$ donde $J_i$ es el ideal de la menor distinto de cero en términos de los elementos de $I_i$.

Paso 4: $J_1\subset J_2\subset\ldots$ sólo puede ser estrictos de inclusión en un número finito de lugares. La única otra manera de tener estrictos de inclusión en $I_1\subset I_2\subset\ldots$ es a través del grado más bajo en $x$ de distinto de cero términos, que sólo puede disminuir un número finito de veces.

Answer 2

Hilbert teorema de la base puede ser adaptado para poder formal de la serie. He encontrado una .pdf en internet que describe muy bien el proceso, si se mira en la sección 8.2.3: aquí.

Básicamente, sólo tiene que sustituir el grado del polinomio con el grado más bajo en el poder de la serie.