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La Ecuación De Diophantine $x^2+y^4=2z^4$

Sabemos que la ecuación de Diophantine $x^2+y^4=2z^4$ tiene una infinidad de soluciones .

Algunos de ellos se muestran a continuación

$$(y,z)=(1,1),(1,13),(1343,1525),(2372159,2165017).$$

He investigado la relación de $\dfrac{z}{y}$ a partir de 64 soluciones (los más pequeños)

y se encontró que el $84.076$ es máxima.

Sabemos que la relación de $\dfrac{z}{y}$ es acotado o no.

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Joe Gauterin Puntos 9526

Reclamo: $\displaystyle\;\frac{z}{y}$ es ilimitado.

Deje $(x,y,z)$ soportes para cualquier entero solución de la ecuación

$$x^2 + y^4 = 2z^4,\;\; z > 0\tag{*1}$$ Factorizar la ecuación de arriba sobre los enteros de Gauss , que es un UFD, podemos concluir que existen enteros $u,v$ $0 \le \epsilon < 4$ tal que

$$ x + iy^2 = i^\epsilon (1+i) (u+iv)^4\quad\text{ y }\quad z = u^2 + v^2 $$

For the purpose of proving $\displaystyle\;\frac{z} de{y}\;$ is unbounded, we only need to consider the case $\epsilon = 0$.
A partir de ahora, vamos a suponer $\epsilon = 0$. Vamos $$\begin{cases} \phi_x(u,v) &\stackrel{def}{=} u^4-4u^3v-6u^2v^2+4uv^3+v^4\\ \phi_{y^2}(u,v) &\stackrel{def}{=} u^4+4u^3v-6u^2v^2-4uv^3+v^4\\ \phi_z(u,v) &\stackrel{def}{=} u^2 + v^2 \end{casos} $$ tenemos $$x + iy^2 = \phi_x(u,v) + i \phi_{y^2}(u,v)\quad\text{ and }\quad z = \phi_z(u,v)\tag{*2}$$ Definir otro montón de funciones $$ \begin{cases} e(X,Y) &= Y^2 - (X^3 - 2X),\\ \psi_y(X,Y) &= X( 2XY - (X^3 - X^2 - 6X - 2))\\ \psi_x(X,Y) &= \phi_x(Y-X,X(X+1))\\ \psi_{y^2}(X,Y) &= \phi_{y^2}(Y-X,X(X+1))\\ \psi_z(X,Y) &= \phi_z(Y-X,X(X+1)) \end{casos} $$ Por fuerza bruta, se puede comprobar

$$\psi_{y^2}(X,Y) - \psi_y(X,Y)^2 = e(X,Y)(Y^2+4X^2Y-10x^4-23x^3-12x^2-2x)$$

For any $(X,Y) \in \mathbb{Q}$, we can associate with it a pair of integers $(u,v) \in \mathbb{Z}^2$ by the rule

$$\frac{u}{v} = \frac{Y-X}{X(X+1)}\quad\text{ and }\quad \gcd(u,v) = 1$$

When $e(X,Y) = 0$, we have $\psi_{y^2}(X,Y) = \psi_y(X,Y)^2$. This in turn implies

$$\phi_{y^2}(u,v) = \left(\frac{v}{X(1+X)}\right)^4 \psi_y^2(X,Y) = \left[\left(\frac{v}{X(1+X)}\right)^2 \psi_y(X,Y)\right)^2 $$ es el cuadrado de un número racional. Desde $\phi_{y^2}(u,v)$ es un número entero, es el cuadrado de un número entero!

Como resultado, cualquier racionales punto de $(X,Y)$ en la curva elíptica $$\mathcal{E} : \{\; (X,Y) \in \mathbb{R}^2 : e(X,Y) = 0\; \}$$ conduce a un entero solución a la ecuación de Diophantine $(*1)$ a través de la parametrion $(*2)$.
Para una solución de este tipo, tenemos

$$\frac{z} de{y} = \frac{\psi_z(X,Y)}{\sqrt{\psi_{y^2}(X,Y)}} = \left|\frac{\psi_z(X,Y)}{\psi_y(X,Y)}\right| = \left|\frac{2Y-(X^3+3X^2+2X-2)}{2XY-(X^3-X^2-6X-2)}\right| $$

As a consequence, if the rational points on $\mathcal{E}$ se puede conseguir arbitraria cerca de las soluciones reales para el siguiente conjunto de ecuaciones:

$$\begin{cases} Y^2 &= X^3 - 2X\\ 2XY &= X^3-X^2-6X-2 \end{casos} \etiqueta{*3} $$

then $\displaystyle\;\frac{z} de{y}\;$ es ilimitado. Este conjunto de ecuaciones tiene cinco soluciones, que se encuentran aproximadamente en $$ \begin{align} r_1 &= (-1, 1 ),\\ r_2 &= ( -0.9449472918334532, -1.022803578367951),\\ r_3 &= (-0.2813045676720525, 0.7350842599417211),\\ r_4 &= ( 2.116520167087263, -2.290904920616812),\\ r_5 &= ( 7.109731692418242, 18.57862423904303) \end{align} $$ Resulta que las tres primeras soluciones son inútiles para nosotros. Sólo necesitamos $r_4$$r_5$.

Para el grupo de puntos racionales en $\mathcal{E}$, tiene la estructura

$$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})(0,0) \oplus \mathbb{Z}(2,2)$$

The Torsion subgroup $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})(0,0)$ is useless to us. The remaining free part has rank $1$ and is generated by the generator $(2,2)$. Let $(X,Y)_k$ be the point on $\mathcal{E}$ corresponds to summing $(2,2)$ $k$ times using the addition on $\mathcal{E}$.

Consider the Weierstrass elliptic function $\wp(z)$ satisfying the ODE

$$\wp'(t)^2 = 4\wp(t)^3 - 8\wp(t)$$

One can parametrize the complex version of our elliptic curve $\mathcal{E}$ by

$$\mathbb{C} \in t \quad\mapsto\quad (X,Y) = \left(\wp(t),\frac12\wp'(t)\right) \in \mathcal{E}_{\mathbb{C}} = \big\{\; (X,Y) \in \mathbb{C}^2 : e(X,Y) = 0 \;\big\}$$

It is known that $\wp(t)$ has fundamental half periods $\omega_1, \omega_2 = i\omega_1$ where$\color{blue}{^{[1]}}$ $$2\omega_1 = \frac{\Gamma\left(\frac14\right)^2}{2^{7/4}\sqrt{\pi}} \approx 2.204878797993166$$

When we move $t$ from $-\omega_1$ to $\omega_1$ along the real axis, we know

  • for $t \[- \omega_1,0)$, $\wp(t)$ increases from $\sqrt{2}$ to $+\infty$ while $\wp'(t)$ increases from $0$ to $+\infty$.

  • para $t \in (0,\omega_1]$, $\wp(t)$ disminuye de$+\infty$$\sqrt{2}$, mientras que $\wp'(t)$ aumenta de$-\infty$$0$.

Esto significa que para cualquier $(X,Y) \in \mathcal{E}$$X > \sqrt{2}$, el correspondiente $t$ cae sobre el eje real. En particular, esto sucede para el generador de $(2,2)$ y las soluciones reales $r_4, r_5$ para la ecuación de $(*3)$.

Vamos $T_g$, $T_4$ y $T_5$ ser los parámetros correspondientes a $(2,2)$, $r_4$ y $r_5$ respectivamente. Discusión anterior nos permiten elegir de tal modo que de$\color{blue}{^{[2]}}$

$$0 < T_4 < \omega_1 < T_g < T_5 < 2\omega_1 \quad\implica\quad \begin{cases} T_4 \approx 0.7258941119069,\\ T_g \approx 1.451788223813796,\\ T_5 \approx 1.828333510903481 \end{casos} $$

Definir la secuencia de $\displaystyle\;t_k = 2\omega_1 \left\lfloor\frac{ k T_g }{2 \omega_1}\right\rfloor$.

Desde $(2,2)$ es un generador de la parte libre del grupo, $\frac{T_g}{2\omega_1}$ es irracional, el conjunto de $\left\{ t_k : k \in \mathbb{Z}_{+}\right\}$ va a ser denso en $[0,2\omega_1]$. Esto implica que podemos encontrar dos subsecuencias $\alpha_k$, $\beta_k$ tal que

$$\lim_{k\to\infty} t_{\alpha_k} = T_4 \quad\text{ y }\quad \lim_{k\to\infty} t_{\beta_k} = T_5 $$ En términos de los correspondientes puntos racionales en $\mathcal{E}$, tenemos $$ \lim_{k\to\infty} (X,Y)_{\alpha_k} = r_4 \quad\text{ y }\quad \lim_{k\to\infty} (X,Y)_{\beta_k} = r_5 $$ Esto justifica nuestra afirmación de que $\displaystyle\;\frac{z}{y}$ es ilimitado.

Como una ilustración de cómo funciona esto, considere los siguientes valores de $t_k$.

$$\begin{cases} t_{21} &\approx 1.824128326178556\\ t_{122} &\approx 0.7278594658298088\\ t_{264} &\approx 1.828059034024375 \end{casos} \quad\text{ versus }\quad \frac{z} de{y} = \begin{cases} 84.07559131784495, & k = 21,\\ 179.9151342283949, & k = 122\\ 1282.614986769345, & k = 264 \end{casos} $$

As one can see, $t_{21}$ and $t_{264}$ is close to $T_4$ (especially $t_{264}$) mientras que $t_{122}$ está cerca de a $T_5$, esto explica por qué el correspondiente $\frac{z}{y}$ es alta y el comportamiento observado que como una función de la $k$, el tamaño de $\frac{z}{y}$ es algo impredecible.

Notas

  • $\color{blue}{[1]}$ La elíptica función que se utiliza aquí es esencialmente una versión a escala de Lemniscatic elíptica función, una gran cantidad de propiedades como la media de los períodos se pueden derivar de ella.

  • $\color{blue}{[2]}$ Dado los valores numéricos de a $\;(\wp(t),\wp'(t)) = (X,2Y)$, se puede calcular el correspondiente parámetro de $t$ utilizando la función InverserWeierstrassP[{ X, 2*Y }, {8,0}] en wolfram alpha.

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