Encontrar el 2016th potencia de un número complejo

Question

Calcular el $\left( \frac{-1 + i\sqrt 3}{1 + i} \right)^{2016}$.

Aquí es lo que he hecho hasta ahora:

Estoy tratando de transformar $z$ en su trigonométricas, de modo que puede utilizar De Moivre la fórmula para el cálculo de $z^{2016}$.

Deje $z = \frac{-1 + i\sqrt 3}{1 + i}$. Esto puede ser reescrita como $\frac{\sqrt 3 - 1}{2} + i\frac{\sqrt 3 + 1}{2}$.

$$z = r(\cos \phi + i \sin \phi)$$

$$r = |z| = \sqrt 2$$ $$\phi = \arctan {\sqrt 3 + 1}$$

Ahora, no sé qué hacer con ese $\sqrt 3 + 1$. ¿Cómo puedo calcular el $\phi$ ?

Gracias de antemano!

Answer 1

Aquí es otro enfoque: ¿por Qué no "distribuir" que el exponente del numerador y el denominador? A continuación, elevar tanto el numerador y el denominador a la potencia de 2016. La cosa es que tanto en $\arctan(-\sqrt{3})$ $\arctan 1$ son bien conocidos los ángulos. Desde allí se puede aplicar a su DeMoivre. Una vez que tenga esos nuevos numeradores y denominadores, usted puede simplemente dividir. Voy a hacer el denominador para usted: $r=\sqrt{2}$$\theta=45°$, por lo que a la potencia de 2016 es$2^{1008}(\cos(2016(45°))+i\sin(2016(45°)))$$2^{1008}(1+0i)$. Se puede hacer el numerador?

Answer 2

$$\dfrac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}=\cos\dfrac\pi6\cos\dfrac\pi4-\sin\dfrac\pi6\sin\dfrac\pi4=\cos\left(\dfrac\pi6+\dfrac\pi4\right)$$

$$\dfrac{\sqrt3+1}{2\sqrt2}=\cos\dfrac\pi6\sin\dfrac\pi4+\sin\dfrac\pi6\cos\dfrac\pi4=\sin\left(\dfrac\pi6+\dfrac\pi4\right)$$

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O

$$-1+\sqrt3i=2\left(\cos\dfrac{2\pi}3+i\sin\dfrac{2\pi}3\right)=2e^{2i\pi/3}$$

$$1+i=\sqrt2\left(\cos\dfrac\pi4+i\sin\dfrac\pi4\right)=\sqrt2e^{i\pi/4}$$

Answer 3

$$\left( \frac { -1+i\sqrt { 3 } }{ 1+i } \right) ^{ 2016 }=\frac { { { 2 }^{ 2016 }\left( { \cos { \left( \frac { 2\pi }{ 3 } \right) +i\sin { \left( \frac { 2\pi }{ 3 } \right) } } } \right) }^{ 1013 } }{ { \left( { \left( 1+i \right) }^{ 2 } \right) ^{ 1013 } } } =\frac { { { 2 }^{ 2016 }\left( { \cos { \left( \frac { 2016\pi }{ 3 } \right) +i\sin { \left( \frac { 2016\pi }{ 3 } \right) } } } \right) } }{ { 2 }^{ 1008 }{ i }^{ 1008 } } =\\ ={ 2 }^{ 1008 }{ e }^{ 2016i\pi /3 }={ 2 }^{ 1008 }$$

Answer 4

Tenga en cuenta que $$ z= \frac{-1 + i\sqrt 3}{1 + i} = \frac{-1 + i\sqrt 3}{2} \frac{2}{1 + i} =\sqrt2 \alpha \beta $$ donde $$ \alpha=\frac{-1 + i\sqrt 3}{2}, \qquad \beta = \frac{\sqrt2}{1 + i} $$ Tenga en cuenta que $\alpha^3 = 1 = \beta^8 $.

Por lo tanto,$z^{24}=2^{12}$$z^{2016}=2^{1008}$.

Answer 5

El principal truco que hace que sea fácil es reconocer de inmediato por la vista de las partes de la tercera y la octava raíces de la unidad.

Los dos primitivos tercer raíces de la unidad son $$ \frac{-1 \pm \mathbf{i} \sqrt{3}}{2} $$ y las cuatro primitivas octavo raíces de la unidad son $$ \frac{\pm 1 \pm \mathbf{i}}{\sqrt{2}} $$ A veces a la gente le gusta escribir $\frac{\sqrt{2}}{2}$ en lugar de $\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Y ya que estamos similar, voy a mencionar las dos primitivas sexto raíces de la unidad son $$ \frac{1 \pm \mathbf{i} \sqrt{3}}{2} $$

En cada caso, con la raíz más pequeña positivo complejo argumento es donde se toman las señales positivas.

Con esto en mente, podemos reescribir la base de

$$\frac{-1 + i\sqrt 3}{1 + i} = \frac{-1 + \mathbf{i} \sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{2}}{1 + \mathbf{i}} \sqrt{2} = \sqrt{2} \zeta_3 \zeta_8^{-1} $$

donde he usado $\zeta_n$ para denotar el principal $n$-ésima raíz de la unidad.

Ahora, el 2016-ésima potencia es fácil de calcular!