Estoy tratando de probar $A$ es invertible demostrando que existe un $A'$ para $AA' = I$ .
Así que llegué a esta etapa $A(I + A) = I$ ahora determino que $A' = I + A$ , y de ahí obtengo $AA' = I$ .
Quería saber si esto es válido, ya que no parece tener sentido, y no puedo encontrar una solución "real" para dicha ecuación.
Nota: $A$ es $n \times n$ y $I$ representa la matriz identidad y también tiene las mismas dimensiones.
Entiendo tu respuesta, y entendí que es posible también, sólo me pregunto cómo implicará usando 'números reales', y no sólo teóricamente.
@res No entiendo muy bien a qué te refieres con "cómo implicará usar 'números reales'". Tomando un general, digamos $2\times 2$ matriz y sólo calcular es probablemente muy desordenado. Ese es el poder de la abstracción, que podemos demostrar esto muy limpiamente usando resultados anteriores. Para un ejemplo concreto simple puede tomar $\phi=\frac{\sqrt 5-1}2$ y la matriz $A=\left(\matrix{\phi&0\\0&\phi}\right)$ y comprueba que funciona.
Con $A(I+A)=I$ ya casi está: esto demuestra que $A$ tiene un inverso derecho, $I+A$ . Pero una matriz cuadrada tiene inversa derecha si y sólo si es realmente invertible, por lo que $A$ es invertible.
Si aún no conoces ese teorema, puedes demostrarlo de varias maneras. Por ejemplo, $$I=I^T=\big(A(I+A)\big)^T=(I+A)^TA^T\;,$$ así que $A^T$ tiene un inverso izquierdo. Supongamos que $A^Tx=0$ . Entonces $$x=Ix=(I+A)^TA^Tx=(I+A)^T0=0\;,$$ por lo que el espacio nulo de $A^T$ es trivial y sólo contiene el vector cero. Por lo tanto $A^T$ es invertible, y su inversa debe ser $(I+A)^T$ . Así, $I=A^T(I+A)^T=\big((I+A)A\big)^T$ y, por lo tanto $$(I+A)A=I^T=I\;,$$ lo que significa que $I+A$ también es un inverso a la izquierda de $A$ . Desde $I+A$ es a la vez inverso a la izquierda y a la derecha de $A$ En realidad es $A^{-1}$ y $A$ es invertible.
Añadido: Como señala tst en los comentarios, me he esforzado demasiado. Podemos factorizar el $A$ de $A+A^2$ tanto a la derecha como a la izquierda, así que no sólo tenemos $A(I+A)=I$ también tenemos $(I+A)A=I$ y es inmediato que $I+A=A^{-1}$ .
Entendí ese caso, lo siento por no aclararlo en mi post original, Pero todavía no entiendo cómo va a implicar esto para una matriz, digamos de orden 2, que es invertible.
@res: No entiendo lo que quieres decir. Si tienes un $2\times 2$ matriz $A$ tal que $A+A^2=\pmatrix{1&0\\0&1}$ entonces $A$ es invertible, y $A^{-1}=I+A$ eso es todo lo que dice. ¿Qué más cree que hace falta?
@Brian, estoy afirmando que, habiendo demostrado que A tiene un inverso recto, puesto que A es cuadrado, ese inverso recto es el inverso de A: es decir, también es el inverso de la izquierda (viceversa). Puede que no haya sido claro en mi comentario, así que lo borraré. (No debería haberme referido al inverso de la izquierda en mi comentario anterior como $A^{-1}$ Lo siento mucho). Es sólo que el OP ya puede ser capaz de pasar de haber encontrado $AA^{\prime} = I,\text{ to}\;\; A^{\prime} = A^{-1}$ .
Dada: $A + A^2 = I$ .
Te propusiste demostrar $A$ es invertible demostrando que existe un $A'$ tal que $AA' = I$ .
Reconociste que $A + A^2 = AI + A^2 = A(I +A) = I.$
Así que has llegado hasta aquí: $A(I + A) = I$ . Ahora deja que $A^{\prime} = I + A$ y de ahí obtienes $AA' = I$ donde $A^{\prime}$ es el inverso de $A$ .
Nótese que, como la suma de matrices es conmutativa, $$A+A^2 = A^2 + A = (A+I)A = = (I + A)A=I.$$ Así que por la misma estrategia que utilizamos para demostrar que $(I + A)$ es un inverso derecho de $A$ se deduce que $(I+A)$ también es un inverso a la izquierda de $A$ y, por tanto, es LA único inverso de $A.$
En general, y como ya sabrá:
Para cualquier matriz cuadrada $M$ si $M$ tiene un inverso a la derecha, entonces el inverso a la derecha es el único inverso de $M$ por lo que también es inverso a la izquierda de $M$ (y viceversa).
Así que efectivamente encontró el inverso de $A$ al haber encontrado un inverso recto de $A$ a saber $A^{\prime} = I + A = A^{-1}$ .
Por lo tanto, puesto que $A$ tiene una inversa, $A$ es invertible.
Una estrategia alternativa es tomar el determinante de cada lado de la ecuación:
$A + A^2 = I.$
Tenga en cuenta que $$1 = \det{(I)} = \det{(A + A^2)} = \det{(A(I + A))} = \det{(A)}\det{(I + A)} > 0.$$ Así que $\det{(A)}$ no puede ser cero. Por lo tanto, $A$ es invertible.
Lo que puede estar confundiéndote es que estás probando SI $A + A^2 = I$ ENTONCES $A$ es invertible, pero eso NO quiere decir que si $A$ es invertible, entonces siempre se cumple que $A + A^2 = I$ .
Así que no debe esperar encontrar que $A+A^2 = I$ para todas las matrices invertibles $A$ y no te preocupes si un ejemplo de matriz invertible $A$ para lo cual $A+A^2 = I$ no viene inmediatamente a la mente.
Sugerencia $\ $ En cualquier anillo: polinomio $\rm\,f(a) = 0\:$ y $\rm\:f(0)\:$ invertible $\rm\:\Rightarrow\: a\:$ invertible (con inversa de dos caras, si $\rm\:a\:$ conmuta con todos los coeficientes $\rm\,c_i\,$ de $\rm\,f),\,$ desde
$$\rm\:c_n a^n + \cdots + c_1 a + c_0 = 0\,\ \Rightarrow\,\ (c_n a^{n-1}+\cdots + c_1) a\, =\, -c_0$$
multiplicando a la izquierda por $\rm\:-c_0^{-1}$ produce un inverso de la izquierda para $\rm\:a.\:$ En $\rm\:a\:$ conmuta con los coeficientes, podemos conmutar $\rm\:a\:$ a la izquierda, lo que demuestra que la inversa anterior es una inversa de dos caras (en particular, dicha conmutatividad es cierta si los coeficientes son enteros, por lo que universalmente conmutativa).
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