El mayor valor de $n$ tal que $n+10| n^3+100$

Question

Si $n\in \mathbb{Z}$ y siga la propiedad

$$n+10| n^3+100$$

entonces, ¿cuál es el mayor valor de $n$

Por favor me ayude a resolver esto!!!

Answer 1

Deje $m=n+10$ $n=m-10$ $$n^3+100=(m-10)^3+100$$ $$=m^3-30m^2+300m-900$$ condición $$(n+10)|(n^3+100)$$ now takes the form $$m|(m^3-30m^2-300m-900)$$ Desde $m$ es divisor de cada una de las cantidades $m^3,30m^2,300m$

De ello se sigue que $$m|900$$ The largest $m$ for which this is true is $m=900$, so it follows that the largest $n$ with the given property is $$n=890$$

Answer 2

Observe que: $n+10| n^3+100$ es lo mismo que $$n+10| n^3+1000-900$$ $$\implies n+10| (n^3+1000)-900$$

$$\implies n+10| (n+10)(n^2-10n+100)-900\implies n+10|900$$.

El mayor entero dividiendo $900$ $900$ sí. Así, para el máximo $n$, $$n+10=900\implies n=900-10=890$$

Answer 3

Tenga en cuenta que $$ n+10|n^3+10n^2\implica n+10|(n^3+10n^2)-(n^3+100)=10n^2-100. $$ Del mismo modo, \begin{aligned} &\quad n+10|(10n^2+100n)-(10n^2-100)=100n+100\\ &\implies n+10|(100n+1000)-(100n+100)=900. \end{aligned} De modo que el mayor número posible de $n$$900-10=\boxed{890}$. Comprobar que esto funciona: $$ \frac{890^3+100}{890+10}=783299\en\mathbb{Z}. $$