Prueba teórica de la constante de la velocidad de la luz $c$ en el vacío en todos los marcos de referencia

Question

¿Existe alguna prueba teórica de la velocidad constante de la luz en todos los marcos de referencia? Sé que está comprobado experimentalmente, pero me da curiosidad.

Answer 1

Como dice WillO, uno debe establecer su teoría precisamente a través de una definición de sus axiomas (y reglas de inferencia permitidas).

Pero algo que puedes encontrar intelectualmente satisfactorio es lo siguiente. Comenzando desde principios de simetría muy básicos - homogeneidad e isotropía del espacio-tiempo, así como continuidad de transformaciones entre marcos y dependencia continua de la velocidad relativa y, finalmente, causalidad, ve los artículos de Pal y Levy-Leblond que cito en mi respuesta de recomendación de recursos de relatividad especial aquí. Se puede demostrar a partir de estas suposiciones que debe existir una velocidad invariante en el marco $c$ (podría ser infinita es decir la relatividad Galileana está incluida en los resultados posibles) y también se deriva la forma de las transformaciones de Lorentz.

Luego experimentalmente se encuentra que $c$ es finito porque la velocidad de la luz se encuentra experimentalmente que se comporta de esta manera invariante en el marco.

Answer 2

Existe una "prueba" teórica de que $c$ es constante, aunque podría considerarse "débil". Permíteme explicarlo.

Es bien sabido en la física matemática que cualquier cantidad $f=f(x,t)$ que obedezca la ecuación $\frac{∂^2f}{∂t^2}-v^2\nabla^2 f=0$ representa una onda que se mueve con velocidad $v$. Ahora, si se utilizan las ecuaciones de Maxwell para el vacío, se puede mostrar que los campos eléctrico y magnético obedecen exactamente una ecuación de ese tipo, es decir (usaremos solo el campo eléctrico para simplificar)

$$\frac{∂^2E}{∂t^2}-\left(\frac{1}{\mu_0 \epsilon_0}\right) \nabla^2 E=0$$

Esto implica una onda de campo eléctrico que se mueve con velocidad $c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}$. Esa es la componente eléctrica de la luz.

Como ves, tanto $\mu_0$ como $\epsilon_0$ son constantes provenientes de experimentos completamente no relacionados como los de Coulomb y Biot-Savart. Se agregaron como constantes de "transformación de fuerza". Aquí $c$ es constante y no hay forma de remediarlo. No admite ningún otro valor y proviene de la teoría de la electromagnética (electrodinámica).

Sería demasiado simplificar decir que la electrodinámica resume solo en la ecuación de onda. Sin embargo, esta onda está en el núcleo de toda la teoría. El cambio más mínimo aquí afecta toda la teoría. No obstante, cualquiera que acepte la transformación de Galileo podría en principio decir que la electrodinámica de Maxwell está equivocada y necesita un cambio. Por eso digo que es "débil".

Al final del siglo XIX quedó claro que las siguientes teorías muy establecidas: a) la mecánica de Newton; b) el principio de relatividad (de Galileo); y c) la electrodinámica de Maxwell; no podían ser verdaderas simultáneamente. Uno podía elegir 2 de ellas pero las restantes requerirían reformas.

Uno podría hacer de la constancia de $c$ un postulado, salvando la electrodinámica y fortaleciéndola. Si además admites el principio de relatividad, entonces voilà! serías un genio (Einstein para ser precisos).

A partir de estos 2 postulados se pueden obtener las transformaciones de Lorentz. Puedes ver en este post que mantiene la velocidad de la onda de luz constante e igual a $c$, como se esperaba.

En resumen: la electrodinámica es la teoría "probada" de que $c$ es constante.

PD: Einstein realmente lo hizo dos veces en su teoría de la relatividad. También transformó el principio de correspondencia "débil", considerando la evidencia de los experimentos de Eötvös de que la masa gravitatoria debe ser la misma que la masa inercial en el principio de correspondencia (haciéndolo fuerte) al postularlo.

Answer 3

La prueba puede tener dos pasos totalmente basados en geometría.

Dado un métrica arbitraria para el espacio-tiempo curvo en la relatividad general, siempre puedes encontrar un marco inercial local. Es una aproximación de primer grado que te ayuda a cambiar de la relatividad general a la relatividad especial alrededor de un punto para el cual todas las primeras derivadas parciales de la métrica se anulan. La métrica es ahora igual a la métrica de Minkowski en este punto y alrededor.

Esta fue la formulación rigurosa de la idea básica de Einstein de que "la física del espacio-tiempo curvo debe reducirse en regiones pequeñas a la física de la mecánica inercial simple".

Ahora considera la métrica de Minkowski para el marco inercial que permanece invariante bajo transformaciones de Lorentz.

Esta métrica exige que haya un multiplicador constante de dimensión temporal con el signo opuesto de las dimensiones espaciales, es decir, la firma, en la geometría de las cuatro dimensiones, si quieres tener una definición invariante para el intervalo entre puntos o eventos en el espacio-tiempo después de rotaciones, impulsos, y traslaciones.

Este constante de la geometría del espacio-tiempo, con la dimensión de espacio sobre tiempo, en el marco de referencia inercial, se identifica con la velocidad de la luz.

Esta constante debería estar teóricamente presente si quieres tener una noción invariante de distancia o intervalo en el espacio-tiempo que se somete a las transformaciones de Lorentz.

Answer 4

Cuando Einstein propuso un experimento mental y luego asumió que la velocidad de la luz es constante independientemente de todos los marcos inerciales. Esa teoría tuvo muchas consecuencias, como la contracción de longitud, la dilatación del tiempo y la relación de equivalencia masa-energía. Por supuesto, no se puede demostrar una teoría, sino que sus consecuencias pueden ser probadas experimentalmente. Y dado que las consecuencias de la TR son probadas experimentalmente, la suposición fue correcta.