Deje $\, n = d_0 + d_1 10 + d_2 10^2 + \cdots + d_k 10^k = P(10).\ $ está evaluando $\ \color{#0a0}{2\, P(3)}\,$ desde $\, 2, 6, 4, 5,\ldots \equiv 2\cdot 3^k\pmod{7}$
Desde $\, P(10)\equiv P(3)\pmod 7\ $ tenemos $\,7\mid P(10)\iff 7\mid P(3)\iff 7\mid \color{#0a0}{2P(3)}$.
Por lo tanto su método produce una válida la divisibilidad de la prueba. Si que en lugar de utilizar la secuencia de $\,3^k \equiv 1,3,2,6,4,5\,$, entonces usted conseguiría la prueba estándar $\,7\mid P(10)\iff 7\mid P(3),\,$ que normalmente es optimizado mediante la evaluación de las $\,P(3)\,$ modulo $7,\,$ es decir, el uso de mod $7$ aritmético al computar el "producto escalar". Este método tiene la importante ventaja de que $\,P(3)\,$ (pero no $\,2P(3))\,$ tiene el mismo resto mod $7$$\,P(10)\,$, por lo que podemos usarlo para hacer operaciones aritméticas mod $7$, por ejemplo, como un cheque de aritmética decimal - como echaba fuera los nueves, que de igual forma se utiliza $\,{\rm mod}\ 9\!:\ 10\equiv 1\,$ $\Rightarrow$ $\,P(10)\equiv P(1).\,$
Comentario $\ $ Hay un camino mejor, un universal de la prueba de que es más sencillo y mucho más fácil de recordar, viz. evaluar el anterior radix polinomio $\,P(x)\,$ en anidados (Horner), utilizando la aritmética modular. Por ejemplo, considere la evaluación de un $3$ dígitos radix $10$ número modulo $7.\,$ Horner En forma de $\rm\ d_2\ d_1\ d_0 \ $ $\rm\: (d_2\cdot \color{#c00}{10} + d_1)\ \color{#c00}{10} + d_0\, \equiv\ (d_2\cdot\color{#c00} 3 + d_1)\ \color{#c00} 3 + d_0\pmod 7\ $ desde $\rm\ \color{#c00}{10\equiv 3}\pmod 7).\,$, con Lo que podemos calcular el resto $\rm\!\! \mod {\!7}\, $ como sigue. Comience con el primer dígito, a continuación, en repetidas ocasiones se aplican a la operación: $ $ multiplicar por $3$, a continuación, agregue el siguiente dígito (haciendo todos los de la aritmética $\!\!\mod{\! 7}$
Por ejemplo, vamos a utilizar este algoritmo para reducir el $\rm\ 43211\ \:(mod\ 7)\:.\:$ El algoritmo consiste en varias ocasiones de la sustitución de los dos primeros dígitos iniciales $\rm\ d_n\ d_{n-1}\ $ $\rm\ d_n\cdot 3 + d_{n-1}\:\ (mod\ 7),\,$ es decir
$\rm\qquad\phantom{\equiv} \color{#0A0}{4\ 3}\ 2\ 1\ 1$
$\rm\qquad\equiv\phantom{4} \color{#c00}{1\ 2}\ 1\ 1\quad $ $\rm\quad \color{#0a0}4\cdot 3 + \color{#0a0}3\ \equiv\ \color{#c00}1 $
$\rm\qquad\equiv\phantom{4\ 3} \color{#0af}{5\ 1}\ 1\quad $ $\rm\quad \color{#c00}1\cdot 3 + \color{#c00}2\ \equiv\ \color{#0af}5 $
$\rm\qquad\equiv\phantom{4\ 3\ 5} \color{#f60}{2\ 1}\quad $ $\rm\quad \color{#0af}5\cdot 3 + \color{#0af}1\ \equiv\ \color{#f60}2 $
$\rm\qquad\equiv\phantom{4\ 3\ 5\ 2} \color{#8d0}0\quad $ $\rm\quad \color{#f60}2\cdot 3 + \color{#f60}1\ \equiv\ \color{#8d0}0 $
Por lo tanto $\rm\ 43211\equiv 0\:\ (mod\ 7),\:$ hecho $\rm\ 43211 = 7\cdot 6173.\:$ Generalmente la aritmética modular es más sencillo si se utiliza un sistema equilibrado de representantes, por ejemplo, $\rm\: \pm\{0,1,2,3\}\ \:(mod\ 7).\,$ Aviso que para el módulo de $11$ o $9\:$ el método anterior se reduce a la conocida pruebas de divisibilidad por $11$ o $9\:$ (.k.a. "echa fuera a los nueves" para el módulo de $9).$
El de arriba es mucho mejor que la divisibilidad de la prueba ya que en realidad calcula el resto de mod $7$, a diferencia de la anterior la divisibilidad de la prueba, que sólo puede ser utilizado para probar si el resto $= 0.$
