La prueba de que un grupo abelian si cada cuadrado es la identidad.

Question

Necesito demostrar que para $(\mathbf G, \circ)$ un grupo, si para cada $a\in\mathbf G$ $$a\circ a=e$$ where $e$ is identity element of that group, then the group is abelian group. $$\\$$ Mi prueba: $$\text{We know that:}\\a\circ e=a=e\circ a\\b\circ e=b=e\circ b\\b\circ b=e=a\circ a\text{, so if}\\a\circ a=b\circ b\text{, then}\\a\circ (e\circ a)=(e\circ b)\circ b\\a\circ(b\circ b\circ a)=(a\circ a\circ b)\circ b\\(a\circ b)\circ (b\circ a)=(a\circ a)\circ(b\circ b)=e\circ e=e\\(a\circ b)\circ (b\circ a)=e\Rightarrow a\circ b=b\circ a$$ Y yo no estoy realmente seguro de que el último paso. Es esto una prueba de la correcta?

Answer 1

La prueba está en lo correcto, como otros señalado (aunque la última línea podría necesitar aclaración). Permítanme ofrecer un camino más corto, sin embargo:

$$\begin{align} a \circ b &= \underbrace{(b\circ b)}_{e} \circ (a \circ b) \circ \underbrace{(a\circ a)}_{e} \\ &= b\circ \underbrace{((b \circ a) \circ( b \circ a))}_{e}\circ a \\ &= b \circ a \end{align}$$

Answer 2

La prueba es válida si nos referimos $a^2=e$ para todos los $a\in G$ al principio. Esta es una variante:

Podemos leer$(ab)^2=e$$ab=(ab)^{-1}$. Así, a partir de la regla general de la informática, producto de los inversos $$ab=b^{-1}a^{-1}.$$ Pero también se $a^2=b^2=e$, por lo que el$a^{-1}=a$$b^{-1}=b$. Conectar la anterior fórmula que se muestra obtenemos $$ab=ba.$$

Answer 3

El último paso no es bueno: hay grupos donde se tienen elementos $x,y$ satisfacción $xyyx = e$$xy \neq yx$, por lo que en su propia, a sabiendas de $abba = e$ no es suficiente para concluir $ab = ba$.

Answer 4

La tercera línea es incorrecta. Usted no puede conseguir que la $b\circ b = e$ (considere el $\mathbb{Z}_4^+$ donde $2 + 2 = 0$ pero $1+1 \neq 0$).

Answer 5

La prueba está casi allí. Usted ha demostrado que $(a \circ b)$ es la inversa de a $(b \circ a)$.

Ahora usted puede multiplicar por $(b \circ a)$ y que se combinan con el conocimiento de que $(b \circ a)\circ(b \circ a)=e$ : $$\begin{align} (a \circ b)\circ(b \circ a) &= e \\ (a \circ b)\circ(b \circ a)\circ(b \circ a) &= e\circ(b \circ a) \\ (a \circ b)\circ e &= (b \circ a) \\ (a \circ b) &= (b \circ a) \\ \end{align}$$