Si tengo la función $f(x)$ y quiero aplicarlo $n$ veces, ¿cuál es la notación a utilizar?
Por ejemplo, ¿podría $f(f(x))$ sea $f_2(x)$ , $f^2(x)$ o cualquier cosa menos engorrosa que $f(f(x))$ ? Esto es importante sobre todo porque estoy tratando de acoplar esto con un límite hacia el infinito.
Me pregunto si mi profesor inventó esta notación (también escribió el libro de texto para la clase, así que es difícil de decir). Tiene sentido, ya que $\circ$ es la notación para la composición de funciones. Personalmente, prefiero simplemente $f^n(x)$ Sin embargo, cuando el contexto es claro. Escribir todos esos $\circ$ s se vuelve un poco molesto después de un tiempo :)
Se podría definir la notación recursivamente como una secuencia de funciones.
Dejemos que $f_{n+1}(x) = f(f_n(x))$ para $n \geq 2$ con $f_1(x) = f(x)$ .
La notación de secuencias de este tipo es tan genérica que el lector se verá obligado a consultar su definición, lo que evitará cualquier posible mala interpretación.
Si se toma la iteración de funciones como un pliegue de la autocomposición, se puede utilizar una notación similar a la de la suma:
$\bigcirc^nf = \underbrace{f \circ \dots \circ f}_{n\:\text{times}}$
Dónde:
$\left({\bigcirc^0f}\right)(x) = x$
Por supuesto, esto no es muy compacto, y yo preferiría escribir el límite directamente encima del círculo. Aparte de eso, se combina de forma tolerante con la notación de límites:
$\lim_{n\rightarrow\infty}\bigcirc^nf$
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