Qué $\int_0^\infty \sin^2 (x^2)\, dx$ convergen o divergen?

Question

Estoy tratando de mostrar determinar si $\int_0^\infty \sin^2(x^2)\,dx$ converge. Por la continuidad, tenemos que $\sin^2(x^2)$ es continua en a $[0,1]$, y por lo tanto (por un teorema) es Riemann integrable en $[0,1]$. Y así, tendremos que si $\int_1^\infty \sin^2(x^2) \,dx$ converge, entonces lo hará $\int_0^\infty \sin^2(x^2) \, dx$.

Y así yo me quedo con la $\int_0^\infty \sin^2(x^2) \,dx$ y no tengo idea de cómo integrar este. Sugerencias o ayuda será muy bienvenida!

Answer 1

Como se señaló, es suficiente para investigar si $\int_1^{\infty} \sin^2(x^2) \, dx$ converge. Realizar la sustitución de $u = x^2$, nos conducen a la siguiente integral:

$$ \frac{1}{2} \int_1^{\infty} \frac{\sin^2(u)}{\sqrt{u}} \, du = \frac{1}{4} \int_1^{\infty} \frac{1 - \cos(2u)}{\sqrt{u}} \, du. $$

Ahora, la integral

$$ \int_1^{\infty} \frac{\cos(2u)}{\sqrt{u}} \, du $$

converge por Dirichlet de la prueba y desde $\int_1^{\infty} \frac{1}{\sqrt{u}} \, du$ diverge, el original de la integral diverge.

Answer 2

De forma heurística, al $x^2$ es grande, $\sin^2(x^2)>\frac12$ sobre la mitad del tiempo, y que nunca es negativo. Así que para los grandes $t$, $\int_0^t \sin^2(x^2)\,dx$ crecerá en un asintótica de la tasa de , al menos, $+\frac 14$, y por lo tanto se aparta de $t\to+\infty$.

Answer 3

$$I=\int_0^\infty\sin^2(x^2)\,dx = \int_0^\infty \frac{\sin^2(z)} {2\sqrt{z}} \, dz = \int_0^\infty \frac1 {2\sqrt{z}} \,dz + \underbrace{\Re\int_0^\infty \frac{e^{2 iz}}{2\sqrt{z}} \, dz}_{\text{finite}}$$

lo que es claramente divergentes (la convergencia de la segunda parte después de la última igualdad signo es, por ejemplo, una aplicación fácil de Cauchy teorema de )

Answer 4

SUGERENCIA:

Primero hacer cumplir la sustitución de $u=x^2$. Entonces, tenemos

$$\int_0^L \sin^2(x^2)\,dx=\int_0^{L^2} \frac{\sin^2(u)}{2\sqrt u}\,du=\int_0^{L^2}\frac{1-\cos(2u)}{4\sqrt u}\,du$$

Uso el de Abel-Dirichlet de la prueba para demostrar que $\int_0^{L^2}\frac{\cos(u)}{\sqrt u}\,du$ converge y, por tanto, a la conclusión de que la integral de interés diverge.

Answer 5

El cambio de las variables de $x^2 \mapsto t$, la integral se convierte en $$ \int_0^\infty \frac{\sin^2 t}{2\sqrt{t}} dt \, . $$ El integrando es $\ge \frac{1}{4\sqrt{k\pi}}$ siempre $t \in ((k-3/4)\pi, (k-1/4)\pi)$. Desde $\sum_k \frac{1}{\sqrt{k}}$ diverge, también lo hace la integral.