Demostrar que $\frac{1}{a(a-b)(a-c)} +\frac{1}{b(b-c)(b-a)} +\frac{1}{c(c-a)(c-b)} =\frac{1}{abc}$ para todos los conjuntos de distintos números distintos de cero $a,b,c$.

Question

Demostrar que $$\cfrac{1}{a(a-b)(a-c)} +\cfrac{1}{b(b-c)(b-a)} +\cfrac{1}{c(c-a)(c-b)} =\cfrac{1}{abc}$$ for all sets of distinct nonzero numbers $a,b,c $.

Ahora mi pregunta no es acerca de cómo resolver esto, pero más bien ¿por qué la técnica que muestra mi libro de obras.

Técnica:

En lugar de mostrar que el lado izquierdo es igual a $\cfrac{1}{abc}$,nos muestran que $$\cfrac{1}{a(a-b)(a-c)} +\cfrac{1}{b(b-c)(b-a)} +\cfrac{1}{c(c-a)(c-b)} -\cfrac{1}{abc}=0 $$

La escritura de la izquierda, con el denominador común $abc(a-b)(a-c)(b-c)$,tenemos $$\cfrac{bc(b-c)-ac(a-c)+ab(a-b)-(a-b)(a-c)(b-c)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)}=0$$

Podemos demostrar que esto es $0$ mostrando que el numerador es $0$.Nosotros puede hacer esto mirando el numerador como un polinomio en $c$,lo que significa deje $a$ $b$ ser constantes y $c$ ser una variable,o $$f(c)=bc(b-c)-ac(a-c)+ab(a-b)-(a-b)(a-c)(b-c)$$

Desde $f(c)$ es una ecuación cuadrática ,si podemos demostrar que este cuadrática ha $3$ raíces distintas,a continuación, $f(c)=0$ todos los $c$.

La prueba termina con mostrar lo que $f(a)=0$,$f(b)=0$ y $f(0)=0$.

Ahora,aunque puedo entender por qué una ecuación cuadrática con $3$ raíces es el polinomio cero no puedo entender por qué podemos tratar el numerador como un polinomio, y así tratar $a,b$ como constantes, mientras que $c$ como una variable.

Además cuando dejamos que un polinomio también permitirá $c=a=b$, pero el problema en el principio de los estados que ${a,b,c}$ es todos los conjuntos de distintos números distintos de cero,por lo que pensé que no podemos dejar $c=a=b$, por definición.

Así puede alguien explicar en profundidad por qué esto es de fiar no ?

Answer 1

Para una prueba de que puede satisfacer la sed de más de simetría, pero que utiliza una técnica similar, considerar el equivalente de identidad $$\cfrac{bc}{(a-b)(a-c)} +\cfrac{ac}{(b-c)(b-a)} +\cfrac{ab}{(c-a)(c-b)} =1.$$ Let $f(x)$ be the polynomial function defined by $$f(x) = \cfrac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)} +\cfrac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)} +\cfrac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}.$$ Observe that $f$ is a quadratic polynomial with $f(a)=f(b)=f(c)=1$. It follows that $f(x)-1$ is a quadratic with three roots, so $f(x)-1=0$ identically. Now compare constant terms of the identity $f(x)=1$.

Answer 2

En primer lugar, voy a hablar de un modo elemental para terminar la prueba. Observar que esto se podría hacer mediante la expansión de los siguientes productos: $$ f(c)=bc(b−c)−ac(a−c)+ab(a−b)−(a−b)(a−c)(b−c). $$ Al final, usted debe obtener todo para cancelar.

En cambio, la prueba utiliza un complicado método. Por inspección, podemos ver que $$ bc(b−c)−ac(a−c)+ab(a−b)−(a−b)(a−c)(b−c) $$ puede ser escrita como $$ \text{Algo}\cdot c^2+\text{Algo}\cdot c+\text{Algo} $$ donde estas "Cosas" se escribe en términos de $a$$b$. El objetivo de la prueba es demostrar que esos "Algos" son siempre cero (independiente de la elección de $a$ o $b$).

Ahora, todos los de $a$, $b$, y $c$ son variables, pero podemos elegir a recoger (arbitrario) los valores de $a$ $b$ y no cambiarlas. A continuación, el cuadrática anterior se transforma en una real cuadrática (todos los coeficientes son números después de la sustitución en para$a$$b$). En ese punto, somos libres de elegir la $c$ como se desee. Por el hallazgo de tres valores distintos donde $c$ se desvanece, el cuadrática, a continuación, tiene cero los coeficientes, y esto vale para cualquier elección de $a$$b$.

Es algo más difícil de explicar por qué podemos caer las distintas hipótesis sin alguna experiencia con polinomios. Cuando un polinomio es igual a $0$ pero con un pequeño número de puntos (que puedo hacer esto más preciso, pero parece que más allá de las etiquetas para el OP). Entonces, cuando un polinomio (el numerador) es igual a $0$ a todos pero los puntos donde $a=b$, $a=c$, o $b=c$. Podemos extender a todos los valores posibles de $a$, $b$, y $c$. Básicamente, un polinomio en una variable tiene un número finito de raíces o es cero (no hay otras opciones). Por lo tanto, si un polinomio es $0$ a todos pero los puntos donde $a=b$, $a=c$, o $b=c$, ya tiene demasiadas raíces a ser distinto de cero.

La única razón por la que el problema original se requiere $a$, $b$, y $c$ a ser distinto fue para que las fracciones no tienen $0$ en el denominador. Si utiliza los límites de cálculo, usted puede ser capaz de conseguir la igualdad inicial de "sostener" incluso cuando $a$, $b$, o $c$ son iguales.