Ayuda para calcular la suma de los productos de

Question

Necesito calcular la siguiente suma:

$$(1\times2\times3)+(2\times3\times4)+(3\times4\times5)+ ...+(20\times21\times22)$$

Todo lo que he deducido es:

1. Cada término es divisible por $6$. De modo que la suma es divisible por $6$.
2. Suma es divisible por $5$ 1er término es $1$ menos que en varios de $5$ y el segundo término es $1$ más que varios de $5$. Próximos tres términos son divisibles por $5$. Este ciclo continúa para cada $5$ términos.

Así suma, obviamente, será divisible por $30$.

Answer 1

SUGERENCIA:

$$(r-1)r(r+1)=r^3-r$$

Ahora, $$\sum_{r=1}^n r=\frac{n(n+1)}2$$ and $$\sum_{r=1}^n r^3=\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2$$

Aquí $r=1$ $21$

Answer 2

Sugerencia: tenga en cuenta que $(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)-(n)(n+1)(n+2)(n+3)=4(n+1)(n+2)(n+3)$.

El uso de esta identidad escribir nuestra suma como un colapso (telescópico) suma. Esto puede ayudar a ver el $4$ veces la suma.

Answer 3

Hay muy poco de la solución, utilizando la diferencia de cálculo, que es una teoría subyacente Andre Nicolás' sugerencia.

$$\sum_{k=0}^{23}k^{\underline{3}}\delta k=\frac{1}{4}k^{\underline{4}}|_0^{23}=\frac{1}{4}(23^{\underline{4}}-0^{\underline{4}})=\frac{23\cdot 22\cdot 21\cdot 20}{4}=53,130$$

Answer 4

He aquí una solución interesante:

$(1\cdot2\cdot3)+(2\cdot3\cdot4)+(3\cdot4\cdot5)+\dots+(20\cdot21\cdot22)$

$\dfrac{3!}{0!}+\dfrac{4!}{1!}+\dfrac{5!}{2!}+\dots+\dfrac{22!}{19!}$

$3!\left(\dfrac{3!}{0!3!}+\dfrac{4!}{1!3!}+\dfrac{5!}{2!3!}+\dots+\dfrac{22!}{19!3!}\right)$

$3!\left(\dbinom{3}{3}+\dbinom{4}{3}+\dbinom{5}{3}+\dots+\dbinom{22}{3}\right)$

a continuación, utilizando el hockey stick identidad, vemos que esto es igual a

$3!\dbinom{23}{4} = 3!\dfrac{23\cdot22\cdot21\cdot20}{4\cdot3!} = \dfrac{23\cdot22\cdot21\cdot20}{4} = 53130$