El Espacio Dual Annihilator en C[0,1]

Question

Deje $V = C[0,1]$ y vamos a ser U el subespacio de funciones de la forma $y(x) = ax+b$ para algunos a, b, dependiendo de la función. Dar un explícito de la familia de funcionales $F\subset U^\perp$ tal que para cualquier $y \in V$ satisfactorio f(y) = 0$\ \ \forall f \in F$,$\ y\in U$.

En otras palabras, en $V^{**}$,$$span F^\perp\cap\phi(V) = \phi(U).$$

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Answer 1

Una función es afín a si y sólo si su derivada segunda se desvanece. Solamente tenemos funciones continuas aquí, pero esta idea se puede todavía hacer el trabajo, pero tenemos que recurrir a una discreta segunda derivada.

Para $a\in[0,1]$, vamos a $\delta_a:V\to\mathbb R$ ser la evaluación funcional en $a$, $\delta_a(f)=f(a)$. (Este es continua en la topología usual de $V$ si usted está interesado en el dual topológico. Aquí no importa si es el algebraicas o la topológico.) Sólo utilizaremos sumas de funcionales como este.

Para $(a,b)\in[0,1]^2$, denotan $f_{a,b}=\delta_a-2\delta_{(a+b)/2}+\delta_b$. Ahora vamos a $$ F=\{f_{a,b}, (a,b)\in[0,1]^2\}. $$

Reclamo: Para $y\in V$ los siguientes son equivalentes:

1. $y\in U$
2. $f(y)=0$ todos los $f\in F$.

Prueba: Si $y\in U$, es un cálculo simple para observar que $f(y)=0$ todos los $f\in F$. Demostrando la otra dirección es la parte difícil.

Supongamos $y\in V$ es aniquilada por todos los $f\in F$. Hay un elemento $z\in U$, de modo que $y(0)=z(0)$$y(1)=z(1)$. (Esta $z$ es realmente único.) Deje $w=y-z$. Sabemos que $w\in V$, y vamos a mostrar que, de hecho,$w=0$; a partir de esto se sigue que el $y=z\in U$.

Por construcción $w(0)=0$$w(1)=0$. También sabemos que $f_{0,1}(w)=w(0)-2w(1/2)+w(1)=0$, lo $w(1/2)=0$. Ahora podemos utilizar $w(0)=w(1/2)=0$ $f_{0,1/2}(w)=0$ conseguir $w(1/4)=0$ y de manera similar a $w(3/4)=0$. Si $w$ desaparece en dos puntos, tiene que desaparecer en mitad de su camino así. Continuando de forma inductiva, encontramos que para cualquier $n>1$ $1<m<2^n$ nuestra función satisface $w(2^{-n}m)=0$. Pero, como este son densos en $[0,1]$ $w$ es continuo, de modo que, de hecho, $w(x)=0$ todos los $x\in[0,1]$. $\square$