En Bourbaki del Álgebra, existe el siguiente ejercicio ($A$ es arbitraria anillo con unidad):
Supongamos que $I$ $(A,A)$- bimodule que es inyectiva como a la izquierda $A$-módulo y un derecho $A$-módulo y que para cada (a la izquierda o a la derecha) cíclico $A$-módulo de $E\neq 0$, existe un no-cero $A$-homomorphism de $E$ a $I$. Mostrar que bajo estas condiciones, si $P$ es una izquierda proyectiva $A$-módulo, $\operatorname{Hom}_A(P,I)$ es un derecho inyectiva $A$-módulo.
El siguiente sencillo de la prueba no utiliza la condición cíclica de los módulos, así que probablemente hay algo mal con él, y espero que alguien pueda señalar el defectuoso paso.
$\operatorname{Hom}(P,I)$ puede ser visto como un derecho $A$-módulo de una forma ortodoxa, el uso de la bimodule estructura de $I$.
Para mostrar que $\operatorname{Hom}(P,I)$ es inyectiva, es suficiente para demostrar que, para cualquier derecho $A$-módulo de $N$ y un submódulo $N'$$N$, el homomorphism $\Phi$ $\operatorname{Hom}(N,\operatorname{Hom}(P,I))$ a $\operatorname{Hom}(N',\operatorname{Hom}(P,I))$ dada por la restricción de las asignaciones es surjective.
Desde $I$ es inyectiva, la homomorphism de $\operatorname{Hom}(N,I)$ a $\operatorname{Hom}(N',I)$ dado por la restricción es surjective. Desde $P$ es proyectiva, la inducida por la asignación de $\Psi$ $\operatorname{Hom}(P,\operatorname{Hom}(N,I))$ a $\operatorname{Hom}(P,\operatorname{Hom}(N',I))$ es surjective.
Pero $\operatorname{Hom}(P,\operatorname{Hom}(N,I))$ es canónicamente isomorfo a $\operatorname{Hom}(N,\operatorname{Hom}(P,I))$, y de la misma manera $\operatorname{Hom}(P,\operatorname{Hom}(N',I))$ a $\operatorname{Hom}(N',\operatorname{Hom}(P,I))$. $\Phi$ y $\Psi$ corresponden a cada uno de los otros a través de estos isomorphisms, por lo $\Phi$ debe ser surjective así.
¿Dónde está el error? Si usted piensa que no hay ninguno, por favor me lo dijeran.
