Divisibilidad por suma de dígitos

Question

Alguien me puede ayudar con la tarea?
Me estoy preparando para mi examen de la sesión y se quedó atascado con esto:

Demostrar que para todo número natural $n$, existe otro número natural $S$,
que es divisible por $n$ y su suma de los dígitos (en sistema decimal) es igual a $n$.

Supongo que el teorema del resto Chino sería útil aquí,
todavía no sé cómo usarlo correctamente. Alguna idea?

Gracias por su ayuda

Answer 1

Robert Israel ha dado un toque (busca en una suma de $n$ diferentes poderes de $10$) que conduce rápidamente a una solución del problema. Damos un pequeño detalle.

Deje $n=ab$ donde $a$ es divisible por ningún primer otro que posiblemente $2$ y/o $5$, e $b$ es relativamente primer a $10$.

Por el Teorema de Euler, tenemos $$10^{\varphi(b)}\equiv 1\pmod{b}.$$ Vamos
$$S_b=10^{\varphi(b)}+10^{2\varphi(b)}+10^{3\varphi(b)}+\cdots +10^{n\varphi(b)}.$$ A continuación, la expansión decimal de $S_b$ se compone sólo de $0$'s y $1$'s, y el dígito de la suma de $S_b$$n$.

Tenemos $10^{k\varphi(b)}\equiv 1\pmod b$, lo $S_b\equiv n\equiv 0 \pmod{b}$.

Es posible que $S_b$ no es divisible por $a$. Deje $S$ $S_b$ multiplicado por una suficientemente alta potencia de $10$ para garantizar la divisibilidad por $a$. La suma de dígitos no cambia.

Answer 2

Sugerencia: Trate de una suma de $n$ diferentes poderes de $10$.