Campo finito, cada elemento es un cuadrado implica char igual a 2

Question

Si $F$ es un campo finito tal que cada elemento es un cuadrado, ¿por qué debe $char(F)=2$?

Answer 1

Si cada elemento es un cuadrado, entonces el mapa de $x\mapsto x^2$ es un surjection de $F$ a sí mismo. Desde $F$ es un campo finito, el mapa es un bijection, lo que significa que desde $-1$ $1$ tienen la misma imagen, a continuación,$-1=1$, por lo tanto la característica es $2$.

De hecho, a la inversa mantiene así. Supongamos $F$ es un campo finito de característica $2$: a continuación, tiene $2^n$ elementos, para algunos $n$, por lo tanto el grupo multiplicativo de un valor distinto de cero elementos es $F$ orden $2^n-1$, lo cual es extraño. En particular, no hay ningún elemento de orden $2$ del teorema de Lagrange. El mapa de $f\colon F-\{0\}\to F-\{0\}$ $f(x)=x^2$ es un grupo homomorphism cuyo núcleo consiste de todos los elementos de exponente $2$; por el comentario que acaba de hacer, el kernel es trivial, por lo tanto $f$ es de uno a uno y, por lo tanto, para cada elemento distinto de cero de a $F$ es un cuadrado. Y, por supuesto, $0$ es un cuadrado.

Answer 2

Si todos los elt un campo finito de orden $\rm\: 2\:n+1\:$ es un cuadrado, a continuación, $\rm\ x^{\:n} - 1\ $ $\rm\: 2\: n\:$ raíces (todos los elt $\ne 0$) $\ \Rightarrow\Leftarrow$